Les suites arithmétique et géométrique

Thèmes abordés

Suites, suite arithmétique, suite géométrique, propriété par récurrence, monotonie par récurrence, théorème des gendarmes

Résumé du document

On peut définir une suite un par une formule explicite, c'est-à-dire lorsqu'il y a une relation directe entre le terme un et n, pour tout n E N.
On peut alors calculer immédiatement chaque terme de la suite en fonction de son rang.

Exemple : Pour tout n E N, on donne la suite Un=2n.

Définition : On peut définir une suite un par une relation de récurrence, c'est-à-dire lorsqu'il y a une relation entre chaque terme un et son ou ses précédents, pour tout n E N.
On doit alors connaître le premier terme de la suite pour calculer de proche en proche chaque terme de la suite.

Exemple : Pour tout n E N, on donne la suite un tel que un+1 = 4un – 6 et u0 = 3.

Extraits

[...] est positive et donc minorée par 0 et décroissante. Donc elle converge. Cependant, attention, elle ne converge pas vers 0 mais vers 5. Théorème (corolaire) : Si une suite est croissante et non majorée, alors elle tend vers Si une suite est décroissante et non minorée, alors elle tend vers Démonstration : Soit un une suite non majorée, donc pour tout M ℝ, il existe un rang 0 ℕ tel que 0 > M. Comme Un est croissante, pour tout entier n 0, on a ,-. [...]

[...] 7,5 pour tout ℕ. Exemple : La suite ,-. définie sur ℕ par ,-.=,cos-. est bornée par et 1 car ,cos-. 1 pour tout ℕ Convergence des suites monotones Propriété : Soit ,-. une suite croissante définie sur ℕ. Si,,-→+∞.-,- . = ℓ, alors la suite est majorée par ℓ. Démonstration : Démontrons par l'absurde. Supposons qu'il existe ℕ tel que ,-. > ℓ. L'intervalle ] ℓ-1 ; ,-. [ contient alors la limite ℓ. Comme ,- . est croissante, ,-. [...]

[...] est le terme général d'une suite géométrique de raison 1,1 et de premier terme -3. Comme 1,1 > 1 et [...]

[...] une suite tel que ,-. = n définie sur ℕ avec ℝ. Démonstration : D'après l'inégalité de Bernoulli, on a pour ℝ+* et ℕ : (1+)n 1 + . On va alors se dire que pour > = (1+) et donc n = (1+)n et par conséquent n 1 + . On a par ailleurs,,lim-→+∞.-(1+.) = (car a ℝ+*). En utilisant le théorème de comparaison, on peut donc dire que →+∞.-,- . = Démonstration : Si = la suite est constante à 1 (car 1 puissance n'importe quel nombre est égale à ; la limite est donc 1. [...]

[...] Nous avons donc 1 ,-. 2 (hypothèse de récurrence). Nous devons maintenant démontrer qu'elle est vraie pour le rang +1. Nous avons donc : ,-+1.= ,,-.-2.−2,-.+2 = ,,,-.−1.-2.+1. Par hypothèse de récurrence on a 1 ,-. ,-. ,-.-1 1 (,-.-1)² 1 (,-.-1)²+1 2 Ce qui donne 1 ,-+1. 2. La propriété est donc vrai pour le rang +1. Conclusion : La propriété est initialisée au rang 0 et elle est héréditaire (car elle est vraie pour le rang et le rang +1). [...]