Les similitude planes

Résumé du document

Les similitude planes, cours de maths niveau lycée de 10 pages





1/ Transformation du plan. Bijections

2/ Similitudes

3/ Similitudes directes

4/ Étude générale des similitudes

Extraits

[...] On en déduit que a = keiθ et que b = ω(1 d'où = az + ω(1 = az aω + ω = a(z ω) + ω = keiθ ω) + ω est donc une similitude directe de centre le point d'affixe b b b = =ω = = 1 a a de rapport = = et d'angle arg a a k 1 a = arg(a) = Théorème d'existence et d'unicité Théorème 3.4 Soient quatre points B et C de P tels que A = B et A = B . Alors il existe une unique similitude directe s telle que = A et = B . [...]

[...] MN Théorème 2.2 La transformation réciproque d'une similitude de rapport k est une similitude de 1 rapport k Démonstration : MN MN 1 Avec les notations précédentes, on a = c'est-à-dire = . MN MN k Comme M = S ) et N = S on a S ) 1 = MN k 1 S est donc bien une similitude, et son rapport est . k Théorème 2.3 Une similitude transforme tout triangle en un triangle semblable. Démonstration : Soit C trois points distincts deux à deux de P et A , B , C leurs images respectives par une similitude S de rapport k. [...]

[...] l'image d'un segment par s est un segment dont la longueur a été multipliée par k ; 3. les images par s de trois points alignés sont alignées ; 4. les images de deux droites parallèles (resp. perpendiculaires) par s sont parallèles (resp. perpendiculaires) ; 5. l'image du cercle de centre I et de rayon R par s est le cercle dont le centre est , et dont le rayon est égal à kR ; 6. plus généralement, l'image de toute figure par s est une figure semblable (de même forme). [...]

[...] Par exemple, l'image d'un carré est un carré ; 7. l'image par s du barycentre de n points pondérés est le barycentre des images des n points affectés des mêmes coefficients ; en particulier, l'image du milieu d'un segment (resp. centre de gravité d'un triangle) est le milieu du segment image (resp. centre de gravité du triangle image). [...]

[...] La composée g f de f puis de g est la tranformation qui à tout point M associe le point g[f : M P f g Propriétés : La composée de deux bijections est une bijection ; en général, g f = f g ; propriété d'associativité : f = h f ) = h g f ; si f est bijective, alors f f = f f = id ; id f = f id = f Similitudes 2.1 Définitions Définition 2.1 Une similitude est une transformation bijective du plan qui conserve les rapports des distances. Soient C et D quatre points quelconques de P tels que A = B et C = et soient A , B , C et D leurs images respectives par une transformation S. AB AB Dire que S est une similitude signifie que = . [...]