Les séries réelles

Thèmes abordés

Séries réelles, théorèmes de convergence, valeur d'une série, nature d'une série, convergence d'une série

Résumé du document

Attention, ce théorème donne une condition nécessaire de convergence. Pour qu'une série converge, il faut donc que son terme général tende vers 0. Mais ce n'est pas une condition susante. Il ne permettra donc jamais de conclure à la convergence d'une série. Il pourra par contre permettre de démontrer qu'une série diverge (quand son terme général ne tend pas vers 0.)

Extraits

[...] On peut ´crire : e a e n = 2. Pour la s´rie harmonique, on a : , e N N 1 n n+1 n dt = ln(n + t donc SN = 1 [ln(n + = ln(N + N n n=1 n=1 Donc, d'apr`s le th´or`me des gendarmes, lim SN = e e e N 1 est donc divergente. L'´criture e La s´rie de terme g´n´ral e e e n 1 n'a donc aucun sens. n n=1 2.2 Condition n´cessaire de convergence e Th´or`me 2.1 Si la s´rie (un ) converge, alors on a n´cessairement lim un = 0. [...]

[...] Soient (un ) et (vn ) deux s´ries convergentes. La s´rie (un + vn ) est convergente et on a e e (un + vn ) = n=0 n=0 un + n=0 vn . Remarque : Ces deux ´galit´s semblent dire que les sommes infinies se comporte comme des e e sommes finies. Il faut cependant faire tr`s attention aux conditions de convergence ! e Exemple 3.1 Consid´rons la s´rie de terme g´n´ral e e e e N N N N n(n + N N + = = = = 1. [...]

[...] e e Si un vn , alors les s´ries (un ) et (vn ) sont de mˆme nature. e e Si un = o(vn ) et si la s´rie (vn ) converge, alors la s´rie (un ) converge. e e Si un = o(vn ) et si la s´rie (un ) diverge, alors la s´rie (vn ) diverge. e e 5.4 series altern´es e Th´or`me 5.4 Soit (un ) une suite d´croissante ` termes positifs telle que lim un = 0. [...]

[...] e e e e e e e e e 1 Elle converge si et seulement si [...]

[...] De e plus, ces sommes infinies ne se manipulent pas comme les sommes finies. C'est pourquoi, pour montrer qu'une s´rie converge et calculer sa somme, il faut soit calculer sa somme partielle d'ordre e montrer que la suite obtenue est convergente et calculer sa limite quand n tend vers ; soit faire les calculs “sous r´serve de convergence”, mais faire attention ` la validit´ des calculs. e a e 1 Exemple 2.1 Reprenons les deux s´ries de l'exemple pr´c´dent. e e e N N n N = 2. [...]