Les séries

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, série, mathématique, Algorithme, Critère d'Alembert, Critère de Cauchy, Séries de Riemann

Résumé du document

Le calcul d'une somme finie n'étant pas toujours simplifiable, un certain nombre de critères permettent de déterminer la nature (convergence ou non) d'une série sans réaliser explicitement les calculs. La notion de série peut être étendue à des sommes infinies de un qui ne sont pas nécessairement des nombres, mais par exemple des fonctions.

Extraits

[...] Cas des séries complexes Soit un = an + ibn avec an ℝ et bn ℝ. La série complexe un converge ssi les deux séries réelles an et bn convergent. On a : u n = a n + i bn n=0 k=0 Cas particuliers importants Comme pour les suites, les cas de séries ci-dessous servent d'élément de comparaison et permettent d'établie de nombreux résultats classiques : Séries géométriques On appelle série géométrique de raison r et de premier terme up la série un où pour tout un = up r n Propriété : - Si r la série un diverge. [...]

[...] On note souvent une série alternée sous la forme un . Pour une série alternée un , si on a : - lim un = 0 Alors un est convergente. De plus, l'erreur de troncature sur la somme S de cette série est majorée en valeur absolue par la valeur absolue du premier terme négligé. Autrement dit : n k=0 Démonstration : On sait que n S = Sn + R n = uk + uk k=0 k=n+1 On dit que l est une valeur approchée de S à ε près ssi S l ε. [...]

[...] - Si p la série un diverge np avec n 1 évidement. Exemple : S1 = 7n + 1 n=1 = n n p > 1 pour les deux séries, alors la suite S1 converge Critères de convergence pour les séries à termes positifs Soient un et vn deux séries à termes positifs. Critère de comparaison - On suppose vn convergente. Si à partir d'un certain rang on a un vn alors un converge aussi. - On suppose vn divergente. [...]

[...] - Si L alors un diverge - Si L = on ne peut pas conclure 1 Ce critère est très utile pour un un égal à ( car dans ce cas, un n = ( ) b Exemple : un = sinn + 1 n n b 1 n b = sin + = sin + 1 b lim un n = lim sin + ) = sin a n π Si a 2 + 2kπ, alors sin a [...]

[...] Les séries 1 Définition Soit un une suite de nombres réels ou complexes. On appelle série de terme général un la suite Sn, notée 𝐮 𝐧 . Elle se définit par : 𝐧 𝐒 𝐧 = 𝐮𝟎 + 𝐮𝟏 + 𝐮𝟐 + 𝐮 𝐧 = 𝐮𝐤 𝐤=𝟎 Remarque : Une suite est une série, mais confondre une suite et une série un est une erreur. L'étude d'une série passe par la recherche d'une limite finie quand n tend vers l'infini. [...]