Série numérique et équation différentielle linéaire à coefficient constant

Thèmes abordés

Équation différentielle, équation différentielle linéaire, fonction linéaire, série géométrique, coefficient constant, Sciences - Ingénierie - Industrie, séries numériques, série de Riemann, équivalence de séries, comparaison de séries, série téléscopique, série à termes positifs, mathématiques

Résumé du document

Ce document comporte une fiche de révision de mathématiques portant sur l'équation différentielle linéaire à coefficient constant.

Extraits

[...] Équation différentielle linéaire à coefficient constant MATHS Les séries numériques LA BASE DE LA BASE ⇢ ​Définition : ​ La série de terme général u​n​ notée ∑u​n​ qui est la suite (Sn)​n>0​ (somme partielle d'indice n de la série) si une série ∑u​n​ CV alors la suite associée (u​n​)​n>0​ CV vers 0. [...]

[...] k f dt f k ∫ k−1 n f dt sommer et développer en posant In= ∫ f dt : I n+1 − ∫ f dt + f S n I n + f ⇢ ​Séries de Riemann ∑ 1 CV ssi α nα ⇢ ​Thm de comparaison des séries à termes positifs : Si et Vn deux suites positives tq Un=O(Vn) ( ∃C > 0 ; ∀n 0 / un = C .v n ) - +∞ +∞ n=0 n=0 Alors si ∑u​n​ CV (ou ∑v​n​ CV (ou DV) aussi et​ ∑ un C ∑ v n ⇢ ​Équivalence de séries à termes positifs Soient et suites positive tq ne s'annule pas et Un ~ Vn : Alors la convergence de ∑u​n​ est équivalente à celle de ∑v​n ➢​Méthode étude de ∑u​n​ : vérifier que lim un = 0 (sinon la série est grossièrement divergente) n→+∞ - EDL DU PREMIER ORDRE​ ⇢ Soit g une fonction continue y'+ay = g IR → IK ⇢S ​ olution homogène (seconde membre nul) { t ↦ Ce−at / C ∈ IK } ⇢S ​ olution particulière de la forme de g (on injecte) ⇢ S ​ olution générale Somme des 2 solutions EDL DU SECOND ORDRE​ ay''+by'+cy = g ⇢S ​ olution homogène ay''+by'+cy=0 »> EC : ar² + br + c = 0 ⇢ ​Comparaison séries-intégrales Soit f une fonction ↘ et ctn ; Sn= MATHS Équation différentielle linéaire à coefficient constant vérifier que est a termes positifs si ce n'est pas une série de référence : minorer/majorer Un par une suite de référence + thm de comparaison trouver un équivalent de Un noté Vn si Vn est un terme général d'une suite de référence, conclure, sinon on minore/majore Vn pour pouvoir conclure. [...]

[...] la série CV ssi la somme partielle CV ⇢ ​Linéarité soient (u​n​)​n>0​ et (v​n​)​n>0​ tq ∑u​n​ et ∑v​n​ CV et ( λ , ) ∈ IR² , alors λ u​n​ + v​n​ ] CV et : +∞ +∞ +∞ k=0 k=0 ∑ [ λ u​n​ + v​n​ ] = λ ∑ u​k​ + ∑ v​k k=0 +∞ ⇢ ​Séries géométriques ​ ∑ (λq k ) = { k=0 - n+1 q λ 1 −1−q si q=1 / λ(n+1) si q=1 +∞ 1 une série géométrique ∑ λ q​k​ CV ssi q 0​ CV ⇢ ​Série à termes positifs Soit (u​n​)​n>0​ une suite positive, alors Sn est croissante ; La série ∑u​n​ CV ssi Sn est majorée (sinon elle DV) ➢ ​Méthode des rectangle : - n n ∑ f et​ ∫ f (t)dt k+1 tracer la courbe et observer graphiquement que : ∫ de même nature. [...]