Résolution d'équations différentielles ordinaires

Résumé du document

On appelle équation différentielle ordinaire du premier ordre (EDO), l'équation : y'(x) = f(x,y).
On dit que y est solution de l'EDO sur un intervalle [a,b] de R si : pour tout x de [a,b], y : R=>R x=>y(x) vérifie cette équation. Pour résoudre ce type d'équations, on ne fait pas de calculs formels, ce qui serait trop lourd. On utilise donc des méthodes numériques pour trouver la solution approchée de ces équations différentielles ordinaires. Tout le problème se pose dans le choix de cette méthode. En effet, on est en droit de demander à ce que le calcul se fasse le plus rapidement possible, c'est-à-dire en effectuant le minimum d'itérations. Mais on veut aussi que la solution trouvée par cette méthode soit fidèle à la solution réelle. Malheureusement, ces deux critères vont en général en sens inverse, et il faut donc effectuer un compromis.

Extraits

[...] On dit que y est solution de l'ODE sur cet intervalle si : pour tout x de y : vérifie cette équation. x Pour résoudre ce type d'équations, on ne fait pas de calculs formels, ce qui serait trop lourd. On utilise donc des méthodes numériques pour trouver la solution approchée de ces équations différentielles ordinaire. Tout le problème se pose dans le choix de cette méthode. En effet, on est en droit de demander à ce que le calcul se fasse le plus rapidement possible, c'est- à-dire en effectuant le minimum d'itérations. [...]

[...] Mais cette rapidité nécessite de calculer dérivées successives de ce qui est une contrainte de plus. IV] Méthodes de Runge-Kutta Il faut savoir qu'il existe plusieurs méthodes de Runge-Kutta qui sont bien utilisées dans la pratique. En effet, elles présentent de nombreux avantages qui sont la facilité de programmation, la stabilité des solutions trouvées, la modification simple du pas et aussi le fait que la connaissance de suffit pour intégrer l'équation différentielle. Par contre, les inconvénients de cette méthode sont un temps de calcul long et une difficulté pour chiffrer ou estimer l'erreur locale. [...]

[...] Malheureusement, ces deux paramètres vont en général en sens inverse, et il faut donc effectuer un compromis. Dans ce rapport, nous allons voir des méthodes différentes, la méthode d'Euler, la méthode de Taylor, ainsi que les méthodes de Runge-Kutta d'ordre 2 et 4. Nous allons ainsi présenter chacune de ces solutions séparément puis nous verrons laquelle est la plus adaptée et dans quelles circonstances. II] Méthode d'Euler Tout d'abord, nous allons rappeler ce qu'est le problème de Cauchy. Il s'agit d'un problème de la sorte y' = auquel on rajoute une condition, dite condition initiale. [...]

[...] IV.1 Méthode de Runge-Kutta à l'ordre 2 Cette méthode est obtenue en prenant les différences centrées au 1er ordre : yn+1 yn = f(xn+1/2 ,yn+1/2 ).h Or yn+1/2 = y(xn+1/2) est inconnue. Dans ce cas, on remplace yn+1/2 par sa valeur estimée ^yn+1/2 dans l'équation précédente, et on obtient : yn+1 = yn + f(xn+1/2 ).h ^yn+1/2 = yn + f(xn ,yn ).h/2 xn+1/2 = xn + h/2 Pour évaluer yn+1, la fonction f doit être calculée deux fois, d'où l'appellation "Méthode d'ordre : la première fois pour l'obtention de ^yn+1/2 et la seconde fois pour évaluer yn+1. [...]

[...] Les points xn sont espacés sur l'intervalle comme suit : xn = a + n.h avec h est le pas de calcul est constant). L'algorithme de calcul est le suivant : y0 = y(x0) Etape 0 (initialisation) x1 = x0 + h Etape 1 y1 = y0 + h.y'(x0) = y0 + h.f(x0,y0) . xn = xn-1 + h Etape n+1 yn = yn-1 + h.f(xn-1,yn-1) Nous pouvons alors calculer la valeur de xn en programmant cet algorithme sur un outil de calcul (ordinateur ou calculatrice). III] Méthode de Taylor Cette méthode est directement issue de la méthode précédente. [...]