La répétition d’une martingale dans un jeu à deux issues

Résumé du document

L'implémentation d'un algorithme visant à effectuer de façon répétitive des tours de martingale (et donc d'augmenter notre capital unité par unité) rentre donc dans le cadre d'une répétition N fois d'une épreuve de Bernoulli, et suit donc une loi binomiale de paramètre q et N.

Extraits

[...] Attention ! Si cette probabilité tend vers elle ne vaut en pratique jamais et il est donc toujours possible de perdre à un moment, et de sortir en conséquence du jeu. Enfin, si p = la probabilité d'obtenir N succès consécutifs tend vers 1/e En conséquence, il est maintenant possible de savoir si un jeu donné peut permettre une implémentation de la martingale qui mènera, si l'algorithme tourne suffisamment longtemps, à l'enrichissement, ou au contraire augmentera la probabilité de tout perdre. [...]

[...] L'une de nos conclusions quant à cette technique était que répéter un trop grand nombre de fois la martingale avec un capital initial fini conduisait à la réalisation de la suite consécutive d'échecs qui consommait tout notre capital, nous empêchant de continuer à doubler la mise, et nous faisant ainsi perdre notre capital. Nous allons dans cet exposé nous intéresser plus précisément à cet aspect : la répétition d'une martingale dans un jeu à deux issues, pour voir ce qui amène cette stratégie à être couronnée de succès ou non. I. PRÉSENTATION DU MODÈLE Considérons une expérience aléatoire de Bernoulli possédant deux issues : l'échec, de probabilité et le succès, de probabilité 1-p. Pour rappel (cf. [...]

[...] On comprend donc qu'il faut s'intéresser au problème suivant : si on répète fois le tour de martingale, quelle est la probabilité que l'on n'ait que des succès, et que l'on atteigne donc le palier suivant, à savoir K = ? (En effet, si on rencontre ne serait-ce qu'un échec, on perd tout et on quitte la partie). La théorie des probabilités nous donne la probabilité d'avoir N succès lors d'une répétition de N épreuves de Bernoulli (la variable aléatoire donnant le nombre de succès suit ce que l'on appelle une loi binomiale) : ( Donc pour k = N : ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Or on a vu plus haut que l'on considérait N = En conséquence, on a : ( et q = ) ( ( ) ) Or comme p1, soit alors ( ) tend vers l'infini quand n tend vers l'infini, donc ( ) tend vers 0. [...]

[...] L'illusion selon laquelle il est possible de tromper le jeu avec la martingale dite simple est soumise à certaines conditions, et il ne suffit pas que la probabilité de perdre n tours d'affilés tende vers 0 pour que l'enrichissement soit assuré. [...]

[...] Dans le cas contraire, le joueur ne peut plus mener le tour de martingale à termes, et perd l'intégralité des mises du tour. On peut sans problème considérer que le tour de martingale est lui-même une expérience aléatoire à deux issues : soit le joueur mène la martingale à bout, et gagne une unité, soit il enchaine trop de parties perdantes consécutives, et sort du jeu. Il n'a donc le droit qu'à un seul échec. On considère un capital initial . [...]