Règles générales des coniques

Résumé du document

Ce document présente une synthèse de définitions et des principales propriétés des coniques, ce qui en fait un document très utile pour réviser ce thème. Extrait : "Etant donnés un point F appelé foyer, une droite D appelée directrice et un réel positif e appelé excentricité, une conique est l'ensemble des points M du plan (F, D) tels que : MF/MH = e avec MH = distance (M, D)
Si e < 1, la conique est une ellipse
Si e = 0, la conique est une parabole
Si e > 1, la conique est une hyperbole
Par définition, le paramètre p de la conique est : p = FM1
La distance FH0 du foyer à la directrice est : FH0 = M1H1 ; or M1F/M1H1 = e d'où FH0 = M1F/e soit FH0 = P/e.
L'axe de symétrie FH0 (orthogonal à D) est l'axe focal Δ de la conique."

Extraits

[...] Si M est un point de l'hyperbole alors : MF' MH' ( avec e > H H' Si M appartient à la branche attractive de l'hyperbole : HH' = MH = MF' MF 1 = MF) e e e M F M' F' Or HH'=H0H0' = 2 OH0 = 2 (OA-AH0) avec d'où HH' = a AF AF c a = e AH 0 = = AH 0 e e A H0 O H0' ae c + a 2a = e e e Par identification des deux expressions, on obtient finalement : MF'-MF = 2 a Si M appartient à la branche répulsive de l'hyperbole : (D') HH' = MH MH ' = MF MF' 1 = (MF e e e 2a e et par un raisonnement similaire au cas précédent : HH' = Par identification des deux expressions, on obtient finalement : MF-MF' = 2 a Une hyperbole est l'ensemble des points M d'un plan tels que la valeur absolue de la différence des distances à deux points fixes appelés foyers est constante : MF+MF'= 2 a # Propriété de la tangente La tangente en un point M de l'hyperbole est bissectrice de l'angle (MF,MF') M F A H0 F' Cas de la parabole Contrairement à l'hyperbole, la parabole n'est pas une conique à centre (pas de centre de symétrie) # Equation cartésienne de la parabole Dans le repère i , j : # Propriété de la tangente La tangente en un point M de l'hyperbole est bissectrice de l'angle (MF,MH) ( r r ) = 2px y H x F A H0 VI Remarque Nous rencontrons très souvent des trajectoires circulaires dans les problèmes de physique. [...]

[...] M r F θ p/e H H0 r θ p/e H H0 M F # Si M appartient au demi-plan # Si M appartient au demi-plan Ainsi : p r cos θ d'où r = 1 + e cos θ p : r = FM = e.MH = r cos θ d'où r = e cos θ 1 : r = FM = e.MH = M r F θ r H0 F M θ M r r θ θ F M H0 F M appartient à une ellipse si : r = FM = M appartient à une parabole si : p 1 + e cos θ p r = FM = 1 + cos θ avec e 1 avec e > 1 III Sommets d'une conique Les sommets d'une conique sont les points A et A' situés sur l'axe focal donc définis pour θ = 0 et θ = π. [...]

[...] Il suffit donc de substituer (θ - θ0) à θ dans les équations polaires précédentes : M appartient à une ellipse si : r = M appartient à une parabole si : p avec e 1 avec e > 1 M appartient à la branche attractive d'une hyperbole si : M appartient à la branche répulsive d'une hyperbole si : V Autres propriétés d'une conique Cas de l'ellipse O note O le milieu de AA' et F' le symétrique de F par rapport à O B et B' les intersections de l'ellipse avec l'axe Oy parallèle à D B b A' F' O B' y p/e H0 c F a A x AA' = OA = OA' = demi-grand axe de l'ellipse 2 BB' = OB = OB' = demi-petit axe de l'ellipse 2 FF' = OF = OF' = distance focale de l'ellipse 2 # Relations p AA' p p = (FA + = (rmin + rmax ) = + a = 1 e e FF' p p pe = OF = OA FA = a rmin = = c = a.e 1 + e 1 BF = e BF = e.(OF + FH 0 ) = c + = c.e + p = + a ) = a BF = a OH 0 Or d'où a = b + c et = a.p # Equation cartésienne de l'ellipse Dans le repère i , j : ( r r ) x + a # Définition bifocale de l'ellipse La droite D' symétrique de D par rapport à O est la directrice de l'ellipse associé au foyer F' symétrique de F par rapport à O. [...]

[...] Si M est un point de l'ellipse alors : H' H0' A' F' O M H H0 A MF = e ( avec e [...]

[...] Règles générales des coniques Les Coniques Quelques généralités I - Définition générale d'une conique Etant donnés un point F appelé foyer, une droite D appelée directrice et un réel positif e appelé excentricité, une conique est l'ensemble des points M du plan tels que : M1 p F M H1 H H0 p/e MF MH avec MH = distance Si e la conique est une hyperbole Par définition, le paramètre p de la conique est : p = FM1 ( avec FM1 D ) La distance FH0 du foyer à la directrice est : FH0 = M1H1 ; or p M1F MF = e d'où FH 0 = 1 soit FH 0 = e M1H1 e L'axe de symétrie FH0 (orthogonal à est l'axe focal de la conique II Equation polaire d'une conique La directrice D partage le plan en deux demi-plans et , le demi-plan contenant le foyer F associé à D. [...]