Probabilités et statistiques : la loi des grands nombres

Résumé du document

Ce document se propose, d'une part, d'effectuer sous forme de fiche de révision une synthèse de la loi des grands nombres. Depuis le théorème fondamental jusqu'à la loi faible des grands nombres, tous les aspects de la question seront ainsi traités.

D'autre part, la fiche de révision s'accompagne d'exercices d'application aux épreuves répétées et de leurs corrigés. L'exercice premier, par exemple, concernera le jet d'un dé et la sortie du "6" (succès). Si le dé n'est pas pipé, nous savons que la probabilité d'obtenir un "6" est p = 1/6.
Nous voulons vérifier ce résultat par l'expérience en lançant plusieurs fois le dé et en notant le nombre de succès.
Combien faut-il faire de lancers de dés pour que la fréquence des succès soit égale à 1/6 à 0,01 près avec 95% de chances ?

Extraits

[...] Exemple 2 : On démontre que l'on peut obtenir une valeur approchée de π en lançant une aiguille de manière répétée sur un parquet composé de lattes parallèles. On compte le nombre de fois où l'aiguille coupe une ligne de séparation des lattes. La probabilité de cet événement est p = 2/p. Combien faut-il faire de lancers d'aiguille pour que la fréquence statistique soit égale à p à 0,001 près avec 95% de chances ? Le même raisonnement que précédemment conduit à n > Application aux erreurs mesure Lorsqu'on mesure une grandeur, le résultat est une variable aléatoire Xi dont la valeur comporte une dose d'erreur. [...]

[...] Ce résultat est une illustration de ce qui est appelé "loi faible des grands nombres" Application aux épreuves répétées On peut utiliser le résultat précédent pour trouver combien il faut d'expériences pour approcher la probabilité d'un succès. Le paramètre h exprime l'approximation souhaitée. Toutefois, comme nous avons affaire à des événements aléatoires, nous devons préciser quel est le "pourcentage de chances" d'approcher la valeur de p avec cette précision. Exemple 1 : Considérons le jet d'un dé et intéressons-nous à la sortie du (succès). [...]

[...] Exercice 2 On jette un dé dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On note la valeur obtenue à chaque lancer. On note par Xk cette valeur obtenue lors du kème lancer. Quelle est la moyenne mk et la variance sk2 de Xk ? Soit An la variable aléatoire représentant la moyenne des valeurs des Xk pour k=1 à n lancers). On souhaite obtenir une valeur de An telle que mk - 0,05 [...]

[...] Supposons que l'on souhaite écarter des erreurs. On a donc . h représentant l'erreur commise sur on constate que diminuer h revient à augmenter n ; par exemple, si on veut doubler la précision, il faudra quadrupler le nombre de mesures. Par ailleurs, pour trouver exactement le nombre n de mesures à effectuer, la connaissance de s est indispensable. Mais en général s est inconnu et en pratique on en obtient une valeur approchée par calcul statistique sur un nombre de mesures donné. [...]