Probabilités et statistiques : ajustement et corrélation, fiche d'exercices

Résumé du document

Une série statistique est une collection de couples (xi, ni) où xi est la valeur du caractère (ou le centre d'une classe) et ni l'effectif correspondant.
A chaque couple (xi, ni) on peut faire correspondre un point dans un repère cartésien de sorte que la représentation graphique d'une série statistique est un nuage de points.
Effectuer un ajustement consiste à :
- trouver la courbe qui passe "au mieux" au milieu de ces points
- trouver l'équation de cette courbe.

L'intérêt de cette procédure est
- d'exprimer les résultats d'une étude statistique par une loi simple
- d'éliminer les erreurs ou fluctuations accidentelles.

Il y a plusieurs procédés d'ajustement ; les principaux sont :
- l'ajustement graphique, amélioré par la méthode des points moyens.
- l'ajustement mécanique : méthode des moyennes échelonnées, méthode des moyennes mobiles.
Ces deux types d'ajustement permettent d'obtenir la forme de la courbe cherchée.
- l'ajustement analytique : méthode des moindres carrés
Cet ajustement permet, en principe, d'obtenir l'équation de la courbe.

Extraits

[...] Il faudra donc déterminer les paramètres a (coefficient directeur) et b (ordonnée à l'origine). C'est l'objet de l'ajustement linéaire. Considérons la série statistique représentée par les couples de nombres : x x1 x2 xi xn y y1 y2 yi yn Pour effectuer l'ajustement linéaire de cette série, procédons par étapes successives : Le changement de variable Effectuons le calcul des moyennes arithmétiques simples des xi et des yi : ce qui donne le point my). Puis on effectue le changement de variables : ce qui équivaut à un changement d'axes. [...]

[...] pour une parabole d'équation y = ax2 + bx + les paramètres à déterminer sont c. La détermination de ces paramètres est l'objet de l'ajustement analytique. Le procédé le plus employé est la méthode des moindres carrés. Pour chaque point on considère le point correspondant de la (présumée) courbe d'ajustement y'i). Si l'équation de la courbe d'ajustement est y = on a y'i = f(xi). [...]

[...] Pour obtenir avec plus de précision la forme de la courbe d'ajustement, on peut employer la méthode des points moyens. Elle consiste à joindre les points de manière à obtenir des triangles consécutifs dont on trace une médiane (on rappelle que la médiane est le segment de droite qui joint un sommet d'un triangle au milieu du côté opposé). On joint ensuite les milieux de ces médianes L'ajustement mécanique Le principe est de remplacer la collection de couples yi) par une collection de couples où y'i est calculé à partir des yi par un certain procédé. [...]

[...] Probabilités et Statistiques : ajustement et corrélation, fiche d'exercices 1 Le principe de l'ajustement Une série statistique est une collection de couples ni) où xi est la valeur du caractère (ou le centre d'une classe) et ni l'effectif correspondant. A chaque couple ni) on peut faire correspondre un point dans un repère cartésien de sorte que la représentation graphique d'une série statistique est un nuage de points : Effectuer un ajustement consiste à : trouver la courbe qui passe "au mieux" au milieu de ces points trouver l'équation de cette courbe L'intérêt de cette procédure est d'exprimer les résultats d'une étude statistique par une loi simple d'éliminer les erreurs ou fluctuations accidentelles Les figures suivantes décrivent des ajustements des séries statistiques des exemples A et B : Dans ce qui suit, nous considérerons que les données statistiques sont des couples yi) correspondant chacun à un point. [...]

[...] Autre variante : emploi d'une pondération pour l'élément central : Les inconvénients de cette méthode reposent sur la diminution du nombre de points l'arbitraire du fractionnement en groupes l'arbitraire du calcul des y'i La Méthode des moyennes mobiles Chaque yi est remplacé par y'i = (yi-1 + yi + yi+1)/3 Le nombre de points perdus se limite ici à le premier et le dernier. Par ailleurs, l'opération consiste en un certain "lissage" Le principe de l'ajustement analytique Les ajustements graphique et mécanique permettent d'obtenir la forme approximative de la courbe d'ajustement. On fait alors choix d'une courbe de type connu d'équation y = f(x). Cette équation contient un certain nombre de paramètres dont il s'agit de fixer les valeurs. Exemples : Pour une droite d'équation y = ax + les paramètres à déterminer sont a et b. [...]