Probabilités : conditionnement et indépendance

Résumé du document

Ce document se propose, d'une part, d'analyser les probabilités conditionnelles. Certaines données statistiques peuvent en effet être regroupées sous forme de tableau, ce qui permet de pouvoir calculer les fréquences et donc les probabilités de l'expérience utilisant ces données. On peut calculer trois sortes de fréquences : par rapport à l'effectif total, par rapport aux totaux des lignes, et enfin par rapport aux totaux des colonnes. D'autre part, pour calculer leur probabilité, certaines expériences peuvent être représentées par un arbre pondéré. On peut ainsi calculer plus facilement la probabilité de certains évènements, et un arbre pondéré correctement construit constitue une preuve.

Enfin, et sous forme de fiche de révision, ce document effectuera une synthèse des cas d'indépendance de deux évènements et reprendra la formule des probabilités totales avant de conclure sur une modélisation d'expériences indépendantes

Extraits

[...] et supposons qu'on ait l'arbre On cherche à calculer P(ordi). Or ES et L forment une partition de l'univers donc d'où P(ordi) = 0,31 + 0,138 + 0,052 = 0,5. IV. Modélisation d'expériences indépendantes 0. Expériences indépendantes Les expériences sont indépendantes lorsqu le résultat d'une expérience ne dépend pas de la précédente. Exemple On tire un jeton au hasard dans une urne contenant deux jetons 1 et puis un jeton dans une deuxième urne contenant trois jetons b et c , puis on lance une pièce. [...]

[...] Probabilités : conditionnement et indépendance I. Probabilité conditionnelle 0. Tableau de données Certaines données statistiques peuvent être regroupées sous forme de tableau, ce qui permet de pouvoir calculer les fréquences et donc les probabilités de l'expérience utilisant ces données. On peut calculer trois sortes de fréquences. Exemple : Soit le tableau suivant : Premier tableau : Fréquences par rapport à l'effectif total. Les élèves de ES n'ayant pas d'ordinateur ont une fréquence de 0,155. Lorsque l'on réalise l'expérience aléatoire qui consiste à choisir au hasard un élève parmi les 58, alors la probabilité que ce soit un élève de ES n'ayant pas d'ordinateur est P(ES et pas d'ordi) . [...]

[...] Soit A l'événement la carte tirée est un as et B l'événement la carte tirée est un trèfle est l'événement la carte tirée est un as de trèfle donc . Or et , donc : les évènements A et B sont indépendants. Effectivement, on peut aussi faire PB(A) = la carte tirée est un as sachant que j'ai des trèfles. Or 8 trèfles et un as III. Formule des probabilités totales Définition Les évènements A1 ; A2 ; . ; An forme une partition de l'univers E s'ils sont disjoints et si leur réunion est E. [...]

[...] Pour pouvoir calculer la probabilité de chaque événement, on énonce tous les évènements élémentaires possibles. Pour cela, on essaie de faire des arbres pondérés. Exemple : Sur l'exemple précédent Il y a 12 évènements possibles donc P(1 ; a ; . Or , et donc P(1 ; a ; . Règle En conformité avec l'intuition, la probabilité de la liste des résultats est le produit des probabilités de chaque résultat Répétition d'expériences identiques et indépendantes Exemples : Lors du tirage d'un jeton dans une urne si on remet le jeton après chaque tirage. [...]

[...] Si on a le tableau des effectifs, on fait le tableau des fréquences par rapport aux colonnes, car on connaît la section, et on choisit la case correspondant, soit ici PS(ordi) = 0,857. Supposons que l'on ait juste le tableau des fréquences, on ne peut pas faire le tableau des fréquences par rapport aux colonnes. On utilise donc la formule : . Dans le tableau, et = donc . On peut également revenir aux tableaux des fréquences si l'on connaît le nombre total d'élèves, mais cela est fastidieux 0. Arbres pondérés Pour calculer leur probabilité, certaines expériences peuvent être représentées par un arbre pondéré. [...]