Périodicité, quasi-périodicité et stabilité

Résumé du document

Définitions et commentaires (niveau préparatoire) relatifs à la notion de stabilité en dynamique (quasi-périodicité, approche perturbative, théorie KAM), notamment céleste.

Extraits

[...] L'id•e est donc une moyennisation sur un anneau circulaire, et ensuite tout se passe comme si une masse plus importante •tait concentr•e au centre du Soleil. Cependant, si l'on suppose que les deux plan€tes sont de masses infiniment petites et que leurs p•riodes sont de rapport rationnel, les conjonctions et la corr•lation des deux mouvements interdisent de proc•der une moyennisation du mouvement. Dans le cas d'un rapport irrationnel, on dispose par contre du : si FCƒ((IR/ZZ)ˆ,C) I et si I alors 1 T lim F (v•rification pour les fonctions e2i(nx+my) et conclusion par densit•). [...]

[...] La th•orie h•liocentrique de Copernic a renvers• la th•orie g•ocentrique de Ptol•m•e. Plus belle, tout semblait s'y agencer de maniƒre harmonieuse et simple. Cependant utilisait quarante cycles, et Copernic encore trente-quatre Une chose est l'univers •tait alors conˆu comme p•riodique. Ce sera le cas jusqu'‚ la fin du XVIIIe si€cle, et seuls des travaux plus modernes ont amen•s •laborer la notion de quasip•riodicit• et remettre en cause la stabilit• du syst€me solaire. D€finition des fonctions presque-p€riodiques Soit f Cƒ(IR, C). [...]

[...] Perturbons la dynamique de la transformation f : IR/ZZ IR/ZZ IR: I Les orbites de f se r•partissent sur des cercles y = cste. On introduit une pouss•e Š vers le haut ou vers le bas qui vient perturber y : f devient g : IR/ZZ IR/ZZ IR: u est d•finie et r•guli€re sur IR/ZZ (i.e. 1-p•riodique et On suppose que la moyenne de u est nulle faute de quoi le cercle peut s'•largir l'infini. Cette fois, la •niƒme it•ration de g envoie sur La discussion sur la stabilit• se ram€ne : les sommes sont-elles born•es lorsque n (le temps Š) tend vers ? [...]

[...] Il est important de remarquer que les cercles invariants y = cste ont remplac•s par les cercles y = cste. Le probl€me est maintenant un probl€me d'analyse harmonique dans lequel l'utilisation des s•ries de Fourier conduit directement au probl€me des petits cn diviseurs (on trouve cn = 2ina ) et au critƒre diophantien de d•finition de la fonction v e La th€orie KAM EnonŒons le cas particulier suivant : Soit l'application twist Š f : IR/ZZ IR/ZZ : Les cercles y = cste sont invariants par f qui y induit une rotation d'angle y. [...]

[...] Remarque : le tore ad€lique, un temps compact Pour mod•liser un temps cyclique, plus riche que IR, et surtout, compact, les math•maticiens utilisent le tore ad•lique Š T. Un t de T est une application qui associe INun tn de IR/nZZ de mani€re compatible avec les projections naturelles sur les cycles IR/mZZ, c'est-‚-dire de sorte que si m divise (tm)=tn . On peut munir T d'une structure topologique de groupe compact IR est un sous-groupe dense. La g•n•ralisation de l'analyse de Fourier des fonctions d•finies sur un groupe topologique ab•lien compact est trƒs f•conde. [...]