Paramétrisation de l'équation diophantienne cubique

Thèmes abordés

Sciences humaines et arts, paramétrisation de l'équation diophantienne cubique, polynômes de degré 3 et de degré 4, équation diophantienne auxiliaire, identité de Ramanujan

Résumé du document

Le but de cet article est de donner différents paramétrages de l'équation
diophantienne
x^3+y^3=z^3+t^3

I) paramétrage à l'aide des polynômes de degré 3 et de degré 4

Soit la courbe du plan d'équation
x3 + y3 =1 +a3 avec a un paramètre réel

le point M(a;1) appartient à la courbe (C)

cette courbe représente la fonction f(x) = (1 + a3 - x3)1/3

Extraits

[...] l​but de cet article est de donner différents paramétrages de l‛équation e diophantienne x^3+y^3=z^3+t^3 paramétrage à l‛aide des polynômes de degré 3 et de degré 4 Soit courbe du plan d‛équation la avec a un paramètre réel le point appartient à la courbe cette courbe représente la fonction Soit T la tangente à la courbe de f au point d‛abscisse a soit la tangente T a pour équation on calcul maintenant les points d‛intersection de T et la courbe de f en résolvant le système et ce qui ne donne un autre point sur la courbe de f d‛abscisse ce point appartient à la tangente T et à la courbe de f on en déduit que exemples si a=2 si on a donc obtenu un paramétrage de l‛équation diophantienne . Nous allons maintenant obtenir d‛autres polynômes de degré 4 et de degré 3 pour obtenir d‛autres paramétrages de l‛équation. [...]

[...] II) D‛autres polynômes de degré 3 et degré 4 obtenus avec une méthode d‛identification II.1) paramétrage d‛une équation diophantienne auxiliaire il s‛agit de paramétrer l‛équation soit en multipliant par 4 en multipliant par 3 on peut donc utiliser les triplets pythagoriciens en posant ensuite on remplace u par on obtient alors ce qui donne l‛équation donc est homogène , on peur les égalités par 6 : II.2) polynôme obtenus par identification Soient et z des nombres réels on choisit ces nombres de façon à ce que l‛identité suivante soit vérifiée par les polynômes en a , les réels y , et z sont des paramètres pour tout a réel : ensuite on identifie les coefficients de a^3 et le terme constant après identification on obtient l‛équation suivante . [...]