Nombres premiers et décomposition en produit de facteurs premier

Résumé du document

Fiche de cour sur les nombres premiers et leur décomposition en produit de facteurs premier suivant un cours de première L spécialité math

Extraits

[...] C11-Nombres premiers et décomposition en produit de 9576=23x3²x133 facteurs premier 9576=2x3²x7x19 I-Les nombres Théorème 3 Définition 1 : La décomposition en produits de facteur premier est On dit qu'un entier naturel p est premier si p est unique, cela signifie qu'un nombre ne se décompose que différent de 1 et si les seules diviseurs de p dans IN d'une seule manière en produit de facteur premier : sont 1 et p. N=p1á1xp2á2x . xprár Exemple: px? nombre premier 2,3,5 et 7 sont premiers á? entier positif Propriété 1 : III-Diviseur d'un entier naturel Tout entier naturel n?2 admet au moins un diviseur Propriété 1 : commun. Posons : N=p1á1xp2á2x . xprár avec Théorème 1 : px? nombre premier distinct Il existe une infinité de nombres premiers. et á? [...]

[...] est obtenu en prenant chacun des facteurs premiers affecté d'un exposant complémentaire de celui qui Exemple apparaît dans la décomposition de n. PPCM(45;60)=? On écrit 45= 20x3²x5x70 On obtient ainsi d = 22-1 x33-2 x51-0 x72-2 et 60=2²x3x5x70 =21 x31 x51 x70 =30 donc PPCM(45;60) =2²x3²x5 n=mxd =180 26460=882x30 Propriété 4 Théorème 5 Soit m et n 2 nombres entier naturel Le PGCD de 2 nombres est égal au produit des nombres PGCD(m;n)xPPCM(m;n) x n premiers qui sont communs à leur décomposition. [...]

[...] á1 0 0 Exemple : chercher les diviseur de 120 8 3 120=2mx3nx5p 0 1 avec : 40 0?m?3 3 0?n?1 1 0?p?1 0 24 m 3 n 1 p 1 2mx3nx5p 120 0 0 On peut aussi procéder en structure en arbre : 0 1 0 0 1 5 0 1 0 3 0 1 Exemple : 1 Soit n=26 et m=882 15 460=2²x33x5x7² 1 0 On a par décomposition en produit de facteurs premiers 0 m=2x3²x7² 2 =2x3²x50x7² 1 0 l'exposant de 2 est bien compris entre 0 et 2. 1 l'exposant de 3 est bien compris entre 0 et 3. 10 l'exposant de 5 est bien compris entre 0 et 1. 1 Soit m et n nombres entier naturel 1 On dit que q est un multiple de m et si q est 0 divisible par m et n. [...]

[...] Exemple: 9576=23x3²x7x19 Théorème 2 (3+1)(2+1)(1+1)(1+1)=4x3x2x2 Tout entier naturel n>1 est premiers ou est le produit = 48 diviseurs distinct de nombre premiers Il y a autant de diviseurs de p1á1xp2á2x . xprár que de suite p1, p pr Exemple : tel que : 0?â1? á1 9576=2x4x4788 0?âr? á2 9576=2²x3994 0?â2? á1 9576=23x1197 2 9576=23x3x399 0 Pour faire une telle suite, on choisit successivement 1 les entiers â1, â2, âr. On a á1+1 choix possible pour 20 â1 et ainsi de suite. 2 1 Théorème 4 0 On suppose que p1, p ,pr sont des entiers distinct 12 et que á1, á ár sont des entiers positifs. Posons 2 N=p1á1xp2á2x . [...]