Modèles linéaires simples

Résumé du document

Les Modèles linéaires simples :

1 Couple de variables aléatoires

2 Le modèle théorique

3 Ajustement du modèle sur des données expérimentales

4 Régression linéaire

5 Tests et contrôle des hypothèses

Extraits

[...] e a e Ainsi, si X est une variable al´atoire, c'est-`-dire une fonction de Ω x est la valeur observ´e, e a e c'est-`-dire un nombre r´el. a e Sens du signe = Dans ce cas, x = 3.1459 veut dire que l'on observe la valeur Alors que X = 3.14159 d´signe un e ´v´nement, c'est-`-dire une partie de Ω qui a une probabilit´. e e a e Couple de variables al´atoires e Deux types simples de lois D´finitions e Cadre Soit X et Y deux v.a. d´finies sur le mˆme espace (Ω, P). e e Loi conjointe C'est une mesure de proba. [...]

[...] e D'autres v´rifications graphiques dans les chapitres suivants. [...]

[...] e e 4 Cette fois-ci, on ne connait les variables al´atoires qu'` travers un ´chantillon de taille n. e a e On dispose de n couples (xi , yi ) constituant un ´chantillon d'observations issues de vecteurs ind´pendants. e e Pour la i-`me observation, on a yi = µ + β xi + i les i sont des r´alisations de copies ind´pendantes e u e e de . En particulier, toutes ces copies ont la mˆme variance σ e Probl`me e Estimer les param`tres µ, β et σ e 3.1 La m´thode des moindres carr´s e e Proposition 1. [...]

[...] Ce syst`me de deux ´quations ` deux inconnues admet une unique solution. Elle est un e e a minimum global Estimations On note x la moyenne des xi et y la moyenne des yi . Estimations des moindres carr´s e ˆ β= n i=1 (yi y n (xi x)2 i=1 et µ = y β x. ˆ ˆ e Notons que β s'´crit encore cov(x, y)/s2 x u cov(x, s2 x A comparer avec les valeurs th´oriques. e n i=1 (xi x)(yi n n i=1 (xi . [...]

[...] Les d´monstrations e e e e sont plus simples. Le cas gaussien On suppose que les variables i sont i.i.d. de loi gaussienne N σ 2 ˆ Dans ce cadre, on connait les lois des estimateurs M , B et Y M + B x Loi des estimateurs σ2 i (xi σ σ µ + βx; + (xi x)2 n i β; , M µ; σ2 + n σ 2 x2 i (xi et Proposition 6. B N ˆ Y N Th´ror`me 7. [...]