La méthode du décrément aléatoire

Résumé du document

Il s'agit d'un cours de mathématiques ayant pour objet d'étude la méthode du décrément aléatoire.
Ce cours clair, exhaustif et très structuré sur les méthodes probabilistes et les modèles stochastiques s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en mathématiques, ingénierie, physique et bien entendu tout(e) autre intéressé(e).

Voici le plan :
- Introduction
- Oscillateurs scalaires
- Principe de la méthode
- Le cas vectoriel
- Analyse asymptotique dans le cas gaussien stationnaire
- Loi des grands nombres
- Franchissement en croissant du niveau a
- Illustration
- Franchissement d'un niveau a

Extraits

[...] Nous e ectuons ensuite la moyenne de ces sections. k k k k k k k k 10 La fonction (ou le processus) ainsi obtenue est la fonction du decrement (quali ee d'aleatoire si Y est un processus aleatoire) associee au franchissement du niveau a. En pratique, naturellement, seulement un nombre ni de sections peut ^etre utilise. Pour N sections considerees, on de nit la fonction du decrement d'ordre N de nie comme suit : DN = 1 N X N k=1 ( + ) Y t k Lorsque Y est un processus stationnaire, on etudie le comportement asymptotique de D lorsque N +1. [...]

[...] La formulation pratique du test de franchissement en croissant du niveau a est : k = minfj > 1 : Y a k et Y j g 17 Revenons au probleme qui nous interesse ici, i.e. l'analyse asymptotique de D de ni par lorsque N 1. La loi des grands nombres suivante est due P.Bernard et L.Lei : Loi des grands nombres : Supposons le processus Y stationN naire gaussien centre, ergodique. Alors : DN 1 = N X N k=1 ( + Y k N E )jC0] 1 C0 est la condition de franchissement prise a l'instant 0. [...]

[...] Y DN(t) −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −2 −1.5 −1 − Temps Comparaison entre la formule approchee et la fonction du decrement estimee par la methode du decrement aleatoire ( : theorique ; : estimee) DN(t) −0.5 −1 −1.5 −2 −2.5 −2.5 −2 −1.5 −1 − Temps Comparaison entre la formule approchee et la fonction du decrement estimee par la methode du decrement aleatoire ( : theorique ; : estimee). [...]

[...] Par consequent les methodes classiques d'estimation des parametres modauxa partir de reponses libres du systeme ou a partir des fonctions de correlation dans le cas de sollicitations stochastiques, telles que la methode d'Ibrahim ou la methode de realisation stochastique peuvent ^etre utilisees pour extraire les parametres modaux a partir de la fonction du decrement Illustration A n d'illustrer les resultats donnes par les di erentes conditions de declenchement, considerons l'exemple d'un systeme dynamique lineaire de dimension un : Soit l'oscillateur lineaire scalaire d'equation d'evolution :  ( ) + 2 00Y_ + 02Y = LN ou N est un bruit blanc3 gaussien normalis e scalaire, w0 = 4rad:s 0 = 0:01 et L = 1:6 2. Pour cet exemple simple la fonction de correlation de la reponse stationnaire est explicite. [...]

[...] Les analyses sont generalement menees en supposant qu'il s'agit d'un processus stationnaire ergodique. Mais la methode est employee avec succes lorsque la sollicitation est par exemple l'action d'un TGV sur un pont ferroviaire. Or, dans ces cas, la reponse est loin d'^etre stationnaire. On trouvera dans la these de Davy Mendoume les raisons pour quoi ceci reste valable dans ce cas Considerons d'abord le cas ou nous disposons d'une observation scalaire Y de la reponse dynamique d'une structure en regime vibratoire libre ou entretenu. [...]