Matrices & Systèmes

Résumé du document

Cours de Maths de prépa HEC mais peut être également utile pour les BAC S et ES (option maths).

Bref cours sur les matrices (endomorphismes...) et les systèmes d'équations (cas généraux et méthode de Cramer).

Extraits

[...] Corollaire semblable à B alors tr(A)=tr(B) (la réciproque est fausse) démonstration : A semblable à B alors A=PBP-1 ,tr(A)=tr(PBP-1 tr((PB)P-1 tr(P-1 tr((P-1 P)B)=tr(B). Définition :Soit u un endomorphisme de E , B une base de E et M la matrice de u dans cette base alors tr(M) est indépendant de B on dit que c'est la trace de l'endomorphisme. démonstration : si B et B' sont deux bases de E les matrice de u dans ces deux bases sont semblables elles ont donc la même trace. [...]

[...] un endomorphisme d'un espace de dimension 2 vérifiant alors u=0 ou u est de rang 1 en prenant e1 tel que vect(e1)=Im(u) et e2 tel que u(e2)=e1 ,on montre que (e1,e2) est une base et la matrice dans cette base s'écrit sous la forme Relations: YB'=M B') XB avec XB les coordonnées de V dans B et YB' les coordonnées de dans B' M(g0f , B'')= M(g ,B',B'')x B') et M(f B'))-1 Matrice de passage : PB(B' la matrice de passage de B à B'est la matrice des coordonnées colonnes des vecteurs de B' exprimés dans la base B Relations : XB= PB(B'XB' avec XB XB' les coordonnées d'un vecteur V exprimées dans B et B' (PB(B')-1= PB'(B M (f,B1,B1')= PB'1(B' M (f,B,B') PB(B PB(B' M(f,B')(PB(B')-1 Rang d'une matrice : le rang de M noté rg(M) est le rang des vecteurs colonnes de la matrice ( ou des vecteurs lignes) , c'est le rang de l'application linéaire dont M est la matrice ,et c'est le nombre de pivots non nuls après échelonnement de la matrice. M : M est l'ensemble des matrices n lignes p colonnes c'est un espace vectoriel de dimension n(p . [...]

[...] M n(()est l'ensemble des matrices n lignes n colonnes, c'est un espace vectoriel de dimension . ()est une algèbre l'ensemble des matrices carrées inversibles n lignes n colonnes est un groupe pour ( . produit de matrices une matrice n lignes p colonnes et B une matrice p lignes et m colonnes le nombre de colonnes de A doit être identique au nombre de lignes de B Alors AxB est une matrice n lignes m colonnes avec ci,j= (c'est le produit de la ième ligne de A et de la jème colonne de B). [...]

[...] III) Transposée d'une matrice Définition ( M et 1(j(n ( M avec bi,j= aj,i Remarque :si A=[C1,C2, sous forme colonnes tA= sous forme lignes et si sous forme lignes alors tA=[tL1, ,tLn] sous forme colonnes. Propriété: t(AxB)=tBxtA t(tA)=A démonstration : on doit démontrer principalement t(AxB)=tBxtA , , AxB=C=((ci,j))1(i(n,1(j(m avec ci,j= tA=((a'i,j))1(i(p,1(j(n , a'i,j=aji tB= ((b'i,j))1(i(m,1(j(p , b'i,j=bj,i tBxtA=C'=((c'i,j))1(i(m,1(j(n avec c'i,j= = = =cj,i. Définition : M tA=A si et seulement si A est symétrique tA=-A si et seulement si A est antisymétrique Propriété: M rg(tA)=rg(A) et si M det(A)=det(tA) Remarque :utilisation de la transposée pour le produit scalaire : C1,C vecteurs colonnes on peut définir le produit scalaire [...]

[...] COMPLEMENTS SUR LES MATRICES Matrices et endomorphismes Matrice d'une application linéaire : f et une base de E et B'=(f une base de F B') est la matrice des coordonnées colonnes de f(e1) dans la base B' c'est une matrice p lignes n colonnes Si B=B' on note la matrice. exemples : f(P)=P+xP'' la base étant ,xn f(xp)=xp+p(p-1)xp-1 et un espace de dimension finie et une projection définie sur E Dans ce cas E=F1(F2 et pour v=v1+v p(v)=v1.On prend une base B1=(e1, de F1 et B2=(ep+1, de F2. pour 1(i(p p(ei)=ei et pour p+1(i(n p(ei)=0. elle est diagonale et possède p '1' sur la diagonale . [...]