Les matrices - publié le 25/01/2016

Thèmes abordés

Matrices, mathématiques, Addition de matrices, Multiplication de matrices par un réel, Produit matriciel

Résumé du document

Une matrice n × p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients).
Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice d'ordre (n, p) ou de dimension n × p.
L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels se note Mn,p (R).

Extraits

[...] Une telle matrice est unique, d'ordre n. B est appelée l'inverse de la matrice A et se note Exemple : Soient les matrices E = ( ) et F = ( 4 ) 1 On souhaite montrer que E est inversible d'inverse F. On calcule le produit E F qui est une matrice de dimension 2 4 + 3 1 + 3 1 ( ) 1 4 + 4 1 + 4 = ( ) = I La matrice E est donc inversible d'inverse F. [...]

[...] A+B=B+A λ(A + = λA + λB (λ + λ')A = λA + λ'A λ(λ'A) = (λλ')A Produit matriciel Le produit matriciel de 2 matrices A et B n'est réalisable que si A a autant de colonnes que B a de lignes. Dans ce cas, le produit matriciel sera A B. Soient A une matrice m n et B une matrice n p. On peut effectuer le produit d'une matrice à m lignes et p colonnes par une matrice à p lignes et n colonnes. [...]

[...] 𝑝 A B Mn,p(R) C = A B Mm,p(R) et 𝑐 𝑖𝑗 = 𝑘=1 𝑎 𝑖𝑘 𝑏 𝑘𝑗 n n n a1,k bk,1 n A B = ai,k bk,j = k=1 a1,k bk,2 k=1 n k=1 n a2,k bk,1 a2,k bk,2 k=1 k=1 n am,k bk,1 n a1,k bk,p k=1 n a2,k bk,p k=1 am,k bk,2 k=1 n am,k bk,p k=1 ) Définition plus claire : Évidemment, la formule du produit matriciel est généralement inutilisable en exercice, même si elle peut être utile pour les démonstrations. Tentons de la clarifier. Pour calculer le premier coefficient de la première ligne : - on prend la première ligne de ; - on prend la première colonne de ; - on multiplie le premier coefficient de par le premier coefficient de - on multiplie le deuxième coefficient de par le deuxième coefficient de - on multiplie le n-ième coefficient de par le n-ième coefficient de - on ajoute ces résultats : c'est le premier coefficient de A B. [...]

[...] Matrice normale Une matrice est dite normale si 𝐀 𝐀 𝐓 = 𝐀 𝐓 𝐀. Exemple : T T Soit A = ( A = ( On a : A A = ( A est donc une matrice normale T et A A = ( 2 Matrice orthogonale Une matrice est dite orthogonale si 𝐀 𝐀 𝐓 = 𝐀 𝐓 𝐀 = 𝐈 Exemple : Soit A = ( On a : A AT = ( ) AT = ( ) = AT A = I ) A est donc une matrice orthogonale. [...]

[...] Les matrices 1 Définition Une matrice n p est un tableau de nombres à n lignes et p colonnes. Les nombres qui composent la matrice sont appelés les éléments de la matrice (ou aussi les coefficients). Une matrice à m lignes et n colonnes est dite matrice d'ordre ou de dimension n p. L'ensemble des matrices à n lignes et p colonnes à coefficients réels se note Mn,p Notation a11 a21 A = a31 (an1 a12 a22 a32 an2 a13 a23 a33 an3 a1p a2p ap anp ) - Les coefficients s'écrivent sans "séparation" verticale ou horizontale contrairement aux tableaux que vous connaissez. [...]