L'approximation des réels par les rationnels

Résumé du document

Réflexion sur l'approximation des réels par les rationnels (nombres diophantiens notamment, nombres de Liouville...), notion importante en dynamique.

Extraits

[...] Soit P ZZ[X] de degr€ m et une racine de P. Montrons que est diophantien d'exposant c'est dire qu'il existe une constante K strictement positive telle que : p p p K I ) 0 . q q q Par l'in€galit€ des accroissements finis on a l'existence d'un c tel que : p p p p P'(c) M M est un majorant de P'. q q q q p ) m q p 1 D'o† En €crivant on voit que K = convient. [...]

[...] q q M 0 Il est difficile de trouver des r€els bien approximables par des rationnels. Si l'on p consid„re qu'un nombre est bien approximable par Q I lors qu'il n'est pas q n€cessaire de choisir q trop grand pour atteindre une certaine pr€cision, on peut par exemple construire (mais quelle contrainte des nombres bien approximables, dits un . nombres de Liouville s'€crivant x = 10n! 0 n uk uk 1 En effet en notant, pour sn = . , on a 10k! [...]