Les congruences en mathématiques

Résumé du document

Fiches de révision de mathématiques (Terminale S) consacrées aux congruences. Elles reprennent les notions essentielles qui permettront de répondre à tous les exercices.

Extraits

[...] Théorèmes : soit n un entier naturel ; a' et b' des entiers relatifs si a b alors ac bc si a b et b c alors a c si a b et a' b' a+a' b+b' a-a' b-b' aa' bb' si a b alors pour tout p de * ap bp Démonstrations : a-b = kn a-b = kn b-c = pn a-c = a-b = nk a'-b' = np (a+a') (b+b') = + (a'-b') = n a-b = nk a'-b' = np (a-a') (b-b') = - (a'-b') = (aa') (bb') = a'(a-b) + b(a'-b) a'(a-b) multiple de n a'kn + b'pn = (a'k+b'p)n b(a'-b) multiple de n (aa') (bb') multiple de n Montrons par récurrence que si a b alors pour tout p de * ap bp Soit la proposition ap bp s'écrit a b d'où vrai Supposons vrai, pour un entier et montrons que vrai, c'est-à-dire : ak+1 bk+1 ak bk a b Page 2 sur 3 : Congruences. a ka b ka donc vrai Pour tout entier naturel k : ap bp est vrai. Propriétés : Si a c alors 0 c alors c est le reste de la division euclidienne de a par n. [...]

[...] Théorèmes : soient b et c des entiers relatifs non-nuls Si a divise b et b divise c alors a divise c Si c divise a et alors c divise toute combinaison linéaires ua + vb Si a divise b alors a b Si a divise b alors a divise bc Si a divise b alors ca divise cb Démonstrations : si a divise alors il existe un entier k tel que b = ak si b divise alors il existe un entier p tel que c = bp alors c = (ak)p c = a(kp) a = kc ua = ukc b = pc vb = vpc ua + vb = ukc + vpc ua + vb = (uk + vp b = ak k 1 Page 1 sur 3 : Congruences. Congruences : Définitions : soient a et b deux entiers relatifs n un entier naturel n α a est congru a b modulo noté a b signifie que a-b est un multiple de n. [...]

[...] Page 3 sur 3 : Congruences. [...]