Résumé de cours sur les séries et intégrales

Résumé du document

Résumé du cours de Maths Spé (niveau DEUG) mettant l'accent sur les théorèmes et les techniques indispensables pour savoir bien mener une interversion entre une série et une intégrale.

Extraits

[...] On suppose que : X fn CVS, et que S est CPM. XZ fn converge et dans ce cas : Alors S est intégrable ssi I Z X Z X fn fn = Théorème 15 Soit K R Z Z X I Théorème 20 Soient A et I deux intervalles de de A I fn est convergente I R continue sur A. fn est CPM S est intégrable et on suppose K I Alors Pour tout compact K A il existe ϕ : I + , intégrable telle que : K ϕ(t) (H. [...]

[...] (fn ) CVS vers une fonction I I f t)dt I Théorème 13 TCD 2. il existe une fonction ϕ : I + fn ϕ (hypothèse de domination) Z Z fn . Alors f est intégrable sur I et f = lim t)dt est de classe Ck , et A. aZ = I K qui est CPM sur I. R intégrable telle f existe et continue K est continue, alors la fonction : t)dt est continue. [...]

[...] On suppose que pour tout compact K l'existence de deux fonctions ϕ, ψ : I + intégrables telles que : K ϕ(t) et ψ(t). Alors la fonction g : A , x t)dt est bien dénie, de I Z classe C et g0 = t)dt I S Z X n=0 K fn . I fn I Théorème 21 Extension. X K 2. t fn une série de fonctions I Alors S est intégrable, Z X Z X fn = fn n=0 K CPM. I 4.1 f t)dt XZ plexes. [...]

[...] fn est de classe C et la série de fonctions f0n CVU sur tout segment inclus dans I Alors ! 0 X X X 1 fn = fn0 fn est de classe C , et et a A R On suppose que : (fn ) converge uniformément vers f sur A.( ou au voisinage de , lim fn existe qu'on note par bn . Alors : n N n=0 La convergence de inclus dans I. lim bn existe X n=0 n=0 fn est aussi uniforme sur tout segment 2. [...]

[...] fn est de classe X C , la série de fonctions fn CVS et que fn CVU sur tout segment inclus dans I. Alors X X fn est de classe Ck , et = fn A N ) , et a AR . on suppose que : X 1. fn CVU sur A. (ou au voisinage de K Théorème 3 Soient (fn ) ( n=0 La convergence de inclus dans I lim (ie lim 2 Suites et séries de fonctions & intégrale sur un segment fn existe. [...]