L'essentiel de la réduction des endomorphismes et des matrices

Résumé du document

Résumé du cours de Maths Spé (niveau DEUG) mettant l'accent sur l'essentiel qu'il faut savoir à propos de la réduction des endomorphismes et des matrices.

Extraits

[...] n eralisation : On suppose que E = Ek , alors chaque Ek est stable 5 Trigonalisation 2 par f ssi M la matrice de f dans une A 0 A2 somme est de la forme : . β cette . . An Dans ces conditions, si on note fk la restriction de f Ek , alors Ak est la n Y det Ak . matrice de fk dans βk et det M = K d´esigne R ou E un K-espace vectoriel Polynˆ ome d'endomorphisme ou de matrice efinition 1 (polynˆome d'endomorphisme) f un endomorphisme de E. [...]

[...] eor` eme efinition 2 Soit E un espace vectoriel de dim n et f L(E). Pour toute base β de det(MatB f XIn ) est ind´ependant de la base β choisie et s'appelle le polynˆome caract´eristique de f et se note χf . ethode Soit diagonaliser une matrice M de Mn Proposition 3 Soient E un espace vectoriel de dimension finie et f L(E). Si F est un sous espace vectoriel de E stable par f et g = f/F alors χg /χf On calcule le polynˆome caract´eristique χM de la matrice M puis les racines dans K de ce polynˆome Si χM nest pas scind´e dans alors M n'est pas diagonalisable dans K. [...]

[...] Si χM est scind´e alors pour chaque racine λ qui sera une des valeurs propres de M on r´esoud le syst`eme homog`ene λIn = u X est une matrice colonne de Kn . La r´esolution conduit une base βλ de Eλ , donc dim Eλ . p X 4. Si, dim(Eλi ) [...]

[...] efinition 5 Un endomorphisme f est dit diagonalisable s'il existe une base β de E telle que MatB f est diagonale. efinition 8 Une matrice M Mn est dite trigonalisable si elle est semblable une matrice triangulaire sup´erieure. eor` eme 4 f les psse : 1. f est diagonalisable χf est scind´e et E = p M Remarque 5.2 M est trigonalisable si et seulement si tout endomorphisme f d'un K-espace vectoriel E de dimension n dont la matrice est M dans une base β de E est trigonalisable, et en particulier l'endomorphisme de Kn de matrice M dans la base canonique. [...]

[...] Remarque 3.1 λ est une valeur propre de f ssi f λId n'est pas injective et en dimension finie c'est ´equivalent det(f λId) = 0. fp k=0 Propri´ es 1 est un morphisme d'alg`ebre Eλ est un sous espace vectoriel de E stable par et les droites stables sont exactements les droites port´ees par des vecteurs propres. Propri´ e 2 Kerϕ : ensemble des polynˆomes annulateurs de f est un id´eal de Imϕ = est une sous alg`ebre de L(E). [...]