Les vecteurs en Mathématiques

Résumé du document

Cours de Mathématiques (niveau Seconde) portant sur les vecteurs avec des applications détaillées ainsi que des schéma.

Extraits

[...] Il existe alors une relation simple d'utilisation : la relation de Chasles. Propriété : Relation de Chasles Pour tout point et C du plan on a AB BC = AC Multiplication par un nombre k Soit un nombre k et un vecteur u . Le vecteur w = u est le vecteur défini par : Si k = 0 ou u = alors w = Si k et u alors u et w ont même direction : Si k > 0 alors u et w sont de même sens et = Si k [...]

[...] Définitions Pour définir un vecteur, trois éléments sont nécessaires. C'est d'abord une direction, ensuite un sens et enfin sa norme (ou longueur). La direction correspond à la trajectoire que prend le vecteur. Cette trajectoire peut être verticale, horizontale. Elle peut aussi être définie par un angle dans un plan, par exemple un vecteur peut prendre une direction de par rapport à l'axe des abscisses. Le sens permet d'indiquer vers où se dirige le vecteur. Par exemple sur un vecteur de direction horizontale le sens peut être soit de gauche à droite soit de droite à gauche. [...]

[...] On note la norme du vecteur u ainsi : On peut alors en déduire les deux propriétés suivantes : B Propriété 1 : A Si AB alors u Si u = Propriété 2 : Deux vecteurs sont égaux si, et seulement si, ils ont même direction, même sens et même norme. A noter qu'en physique il peut exister un quatrième élément constitutif à la définition d'un vecteur : son point d'application. 1/4 B). Calcul de la norme du vecteur Des trois éléments constitutifs à la définition d'un vecteur, la norme est l'élément qui nécessitera dans la majorité des cas un calcul. La direction et le sens du vecteur se trouvant en général très facilement. [...]

[...] Les droites et sont elles parallèles ? AB et CD On calcul les coordonnées des vecteurs x C x CD D B A y C y et En appliquant la formule on obtient : XY' 2*3 XY' 0 AB et CD sont colinéaires, donc Puisque l'on obtient 0 les vecteurs les droites et sont parallèles Démontrer que trois points sont alignés : Soit ABCD un parallélogramme de centre O. Soit I et J les milieux respectifs de et [BC]. On place les points E et F de la manière suivante : AE = AB et DF = DC . [...]

[...] Définition Deux vecteurs u et sont colinéaires si, et seulement si, il existe un nombre k (nommé scalaire) tel que u = k . Il s'agit d'une notion importante car la colinéarité permet de démontrer que deux droites sont parallèles ou bien encore que trois points sont alignés. Deux vecteurs colinéaires ont obligatoirement la même direction, mais pas forcement le même sens. B). Applications Deux grands exemples d'application de la colinéarité en seconde consistent à démontrer que deux droites sont parallèles, ou bien encore que trois points sont alignés Démontrer que deux droites sont parallèles : Hypothèse(s) : on connaît les coordonnées de 4 points (on calculera alors les coordonnées de deux vecteurs). [...]