La loi des grands nombres

Thèmes abordés

Loi des grands nombres, distribution d'échantillonnage, Pile ou Face, méthode de résolution élégante, probabilités

Résumé du document

Une personne joue soixante fois à "Pile ou Face".
- Au bout de trente fois, elle a obtenu vingt fois Pile. Calculer l'espérance mathématique et la variance du nombre total de Pile obtenu au terme des soixante coups.
- En déduire une remarque que l'on peut faire à un joueur dont la tactique consiste à parier à chaque coup sur la face contraire à celle sortie au coup précédent, et qui justifie son attitude par le fait qu'en définitive, on doit obtenir autant de fois Pile que Face.

Extraits

[...] On se propose de tirer tous les échantillons possibles de taille trois, d'abord avec remise puis sans remise. - Calculer dans les deux cas, le nombre d'échantillons. - Calculer dans les deux cas, la moyenne et la variance de la distribution d'échantillonnage des fréquences. - Retrouver d'échantillonnage. ces résultats à l'aide des formules des distributions 9. En remontant le Mississipi Un lot de 500 balles de coton sortant d'une exploitation de Louisiane doit être convoyé entre la rive et le bateau ancré au milieu du fleuve par de petites embarcations contenant 100 balles au maximum. [...]

[...] Posez le problème du calcul de la probabilité d'un tel événement et préciser pourquoi on ne peut affecter commodément une valeur numérique à cette probabilité Pour la soif Un producteur de poires remplit des cagettes préformées avec 25 poires calibrées, poires dont on sait que le poids moyen unitaire est de 120 grammes pour un écart-type de 12 grammes. - Quelle est la probabilité qu'une cagette ait un poids de poires ne dépassant pas 2,9Kg ? - Quelles sont les limites de confiance à 95% pour le poids de poires dans une cagette ? - Quelle est la probabilité que la différence de poids de poires entre deux cagettes excède la moitié du poids moyen d'une poire? [...]

[...] Conclusion Toujours pressé ! Un institut de sondages se préoccupe d'annoncer le résultat d'une élection le plus rapidement possible après la clôture du scrutin. Pour cela, il compte relever les résultats d'un échantillon constitué des premiers bulletins dépouillés, échantillon de taille la plus réduite possible pour annoncer rapidement le résultat, échantillon de taille la plus grande possible pour être assuré que le résultat annoncé est bien le bon. En supposant qu'un candidat ait recueilli en fait 52% de la totalité des suffrages, quelle devrait être la taille minimale de l'échantillon en question si l'institut souhaite avoir au moins 95% de chances d'annoncer l'élection de ce candidat au vu des suffrages dépouillés (un candidat est élu s'il obtient plus de la moitié des suffrages). [...]

[...] Outre le fait d'être destiné à comprendre la notion de distribution d'échantillonnage, cet exercice doit servir à élaborer une méthode de résolution élégante - c'est-à-dire gérant efficacement les calculs. Une population comprend 5 nombres : et 11. - Calculer la moyenne et la variance de cette population (Question à 0 point - On considère tous les échantillons possibles de taille 2 tirés avec remise de cette population. - Combien sont-ils ? - Calculer la moyenne et la variance de la distribution d'échantillonnage de la moyenne de ces échantillons. - Mêmes questions qu'au dans le cas d'un tirage sans remise. [...]

[...] Loi des Grands Nombres 5. Rationalité du joueur Une personne joue soixante fois à "Pile ou Face". 1Au bout de trente fois, elle a obtenu vingt fois Pile. Calculer l'espérance mathématique et la variance du nombre total de Pile obtenu au terme des soixante coups. 2En déduire une remarque que l'on peut faire à un joueur dont la tactique consiste à parier à chaque coup sur la face contraire à celle sortie au coup précédent, et qui justifie son attitude par le fait qu'en définitive, on doit obtenir autant de fois Pile que Face Expérimentation de la Loi des Grands Nombres Le jeu de Pile ou Face suppose que l'occurrence de chacune des deux éventualités lors du jet d'une pièce est équiprobable. [...]