Les limites de fonction

Thèmes abordés

Limites de fonction, limite finie, limite à l’infini, théorème des valeurs intermédiaires, théorème de comparaison

Résumé du document

Soit f une fonction définie sur un intervalle I contenant x0.
On dit que f est continue en x0 lorsque limx : xof(x) = f(x0).
On dit que f est continue sur I lorsque f est continue en tout point de I.

Théorème : Une fonction dérivable sur un intervalle I est continue sur cet intervalle.

Extraits

[...] = On a une forme indéterminée pour la limite de f(x). Comme x est non nul : = ,2,-2.+ + 7-8−,- = ,,- 3.,2+,1-,- +,7-,- -,-3.,−1+,8-,- = ,2+,1-,- +,7-,- -−1+,8-,- On a alors, après calcul : ,,-→+∞.-2+,1-,- +,7-,- = alors ,,-→+∞.-−1+,8-,- = soit donc par quotient ,,-→+∞.-(). = - Composition Théorème : Soit α, β et γ finis ou infinis. Méthode: Calculer une limite d'une fonction avec des radicaux Soit f une fonction définie sur ℝ par = x ,-.+ . [...]

[...] En effet, il suffit de prendre x > ,- . On a alors 0 A 3 Limite à l'infinie Définition : On dit que la limite de f en est égale au réel lorsque tout intervalle de la forme ] ; contient tous les réels dès que x est suffisamment proche de Cas où = x0 Cas où = Cas où = ] ; ] ; ] ; dès que x ]x0- ; x0+[ dès que x A Exemple : Soit f la fonction définie sur ℝ\{1} par : = ,3-,,−1.- Soit un réel m > déterminons un réel h > tel que si x ]1- ; 1+[ et donc > m. [...]

[...] = γ alors ,,- →.-(,.). = γ Pour tout x si et si ,,- .-(). = alors ,,- .-(). = Pour tout x si et si ,,- .-(). = alors ,,- .-(). = Pour tout x si et si ,,- .- (). = ,,- .-(). = ℓ, alors ,,- .-(). = ℓ. [...]

[...] On a alors, pour tout x > 0 ; = x ,-,-.+. = ,-.+ + ,-,-.+ . - +,-,-.+ . = −,- +,-,- .+ . (après le développement). Comme ,,lim-→+∞.- +,-,-2.+ = par quotient on a ,,- →+∞.- (). = Théorème de comparaison Théorème : Soit f et g deux fonctions définies sur un intervalle voisinage de α (α=x0, Démonstration : On sait que ,,-→+∞.- (). = donc pour tout réel il existe un réel A I tel que pour tout x > on ait m. [...]

[...] Cette distance peut être positif ou négatif, d'où = ℓ + φ(x). On peut écrire ,,lim-→+∞.-() ℓ soit ,,-→+∞.-() 0. Méthode: Déterminer une asymptote On a la fonction ,.=+,-− . Comme ,,lim-→+∞.-,5-− = 0 donc ,,lim-→+∞.-,.=4. ; on reconnaît une expression de la forme : = ℓ + φ(x) où,,lim-→+∞.-φ(). = 0. Alors, la droite d'équation y = 4 est asymptote à g en Méthode: Déterminer une asymptote On a la fonction ,.=, + - . définie sur ℝ\{3} D'abord, pour tout x ℝ\{0 ; on a ℎ,.=,,4+,5- . [...]