Les limites - publié le 27/02/2012

Thèmes abordés

Limites, limites infinies, limites finies, théorèmes, fonctions

Résumé du document

Théorème 1 : Tout polynôme a même limite en + ou - infini que la limite de son terme de plus haut degré.

Théorème 2 : Toute fonction rationnelle ( quotient de 2 polynômes )
a même limite en + ou - infini que la limite du quotient de ses termes du plus haut degré.

Extraits

[...] si lim = l et si lim = l' x x0 x x0 si lim ( + = l + l' x x0 si lim ( x = l x l' x x0 si lim ( x ( ) = l x ( x x0 si lim = _ si l' diff. [...]

[...] de 0 l' x x0 lim = l si l > ou = 0 et si sur un voisinage de xo x x0 > ou = 0 THEOREME 1 : Limite et ordre Si pour tout x d'un intervalle I ou = x0 on a > ou = et lim = + ( x + ( ALORS lim = + ( x + ( Si pour tout x > ou = x0 on a > ou = et lim = - ( x + ( ALORS lim = - ( x + ( Si l ou = et lim = 0 x + ( ALORS lim = l x + ( Si = ( et est borné x + ( ALORS lim ( + ) = ( x + ( lim = 0 x + ( Cos x = 1 2 sin² x = x ( 1 + ε(x) ) avec lim ε(x) = 0 x x0 On écrit : f ~ g x0 Si f ~ g et si lim = l x0 x x0 Alors lim = l x x0 x0 Si f ~ f1 et g ~ g1 x0 x0 Alors ~ et f x g ~ f1 x g1 g x0 g1 x0 x0 sin x ~ x sin x = x ( 1 + ε(x) ) = x + x ε(x) 0 avec lim ε(x) = 0 x x0 tan x ~ x tan x = x ( 1 + ε(x) ) = x + x ε(x) 0. [...]

[...] THEOREME 2 : Toute fonction rationnelle ( quotient de 2 polynômes ) a même limite en + ou - ( que la limite du quotient de ses termes du plus haut degré. [...]

[...] OPERATIONS SUR LES LIMITES FINIES Opérations ALORS LES LIMITES Théorèmes de comparaison ALORS LIMITES INFINIES ET OPERATIONS Sommes x0 peut être = + ( ou = - ( LES LIMITES Produit xo fini ou infini LES LIMITES Quotient x0 fini ou infini Formes indéterminées Cas où l'on ne peut conclure directement : * ( * 0 x ( ( * 0 * ; 0 LES LIMITES THEOREMES SUR LES LIMITES LES LIMITES FONCTIONS EQUIVALENTES EN 0 Définition 2 fonctions f et g sont équivalentes en x0 si pour tout x voisin x0 on a : Conséquence Si 0 = 1 + ε(x) lim = 1 + ε(x) x x0 Propriétés Principaux équivalents LES LIMITES lim x = 0 x 0 lim xⁿ = 0 x 0 lim = x 0 x > 0 lim 1 = + ( x x 0 x > 0 lim 1 = - ( x x 0 x 0 avec n impair lim 1 = - ( xⁿ x 0 x a lim = - ( x - a x a x [...]

[...] LES LIMITES LES LIMITES EN 0 Fonctions de référence LIMITES EN a : ( nombre réel fini ) Asymptote verticale d'équation x = a Asymptote verticale d'équation x = a LIMITES EN INFINI LES LIMITES I. [...]