Démonstration de la forme discrète de l'inégalité de Jensen

Résumé du document

L'inégalité de Jensen est une relation utile et très générale concernant les fonctions convexes. Cette inégalité trouve de nombreuses applications en probabilité et statistique. Après avoir introduit la forme discrète de l'inégalité de Jensen, nous démontrerons mathématiquement ce résultat (...)

Extraits

[...] - Si S = 0 alors αi = 0 pour tout i et donc αn+1 = 1. f ( n+1 ) αi xi 6 i=1 n+1 αi f (xi ) alors v´erifi´ee car trivialement r´eduite f (xn+1 ) 6 f (xn+1 ) i=1 Siαi S alors posons pour tout i µi = i=1 S = S S = 1 αi ainsi i=1 µi = ∑nNous pouvons ainsi utiliser l'hypoth`ese de r´ecurrence avec αn+1 = 1 i=1 αi = 1 S : f ( n+1 ) αi xi n i=1 ) αi xi + αn+1 xn+1 ( ) n S µi xi + S)xn+1 i=1 i=1 Et comme f est convexe (ou d'apr`es H2 on a : f ( n+1 i=1 In´egalit´e de Jensen ) αi xi 6 Sf n ) µi xi + S)f (xn+1 ) i=1 2/3 Comme f i=1 µi n = 1 et Hn est vraie par hypoth`ese de r´ecurrence, on a : ) µi xi 6 i=1 d'o` u f ( n+1 n µi f (xi ) or S i=1 ) αi xi n n µi f (xi ) = i=1 n αi f (xi ) i=1 αi f (xi ) + αn+1 f (xn+1 ) ce qui est Hn+1 i=1 Le principe de r´ecurrence ach`eve la d´emonstration. [...]

[...] emonstration de la forme discr` ete de l'in´ egalit´ e de Jensen L'in´egalit´e de Jensen est une relation utile et tr`es g´en´erale concernant les fonctions convexes. Cette in´egalit´e trouve de nombreuses applications en probabilit´e et statistique. Apr`es avoir introduit la forme discr`ete de l'in´egalit´e de Jensen, nous d´emontrerons math´ematiquement ce r´esultat Forme discr` ete de l'in´ egalit´ e de Jensen Soit f une fonction r´eelle continue convexe sur un intervalle I. Soit x xn des points de I et α αn des r´eels positifs tels que i=1 αi = 1 alors : ) n n αi f (xi ) > f αi xi i=1 i=1 Remarque : il y a ´egalit´e si et seulement si les xi sont ´egaux et l'in´egalit´e inverse dans le cas de la concavit´e. [...]

[...] Par contre, si l'in´egalit´e est stricte, nous parlerons alors de stricte convexit´e ou concavit´e. Illustration d'une fonction convexe C λ λ λ λ x λ λ y Fig Convexit´e : la courbe est au-dessous de toute corde In´egalit´e de Jensen emonstration Pour la d´emonstration, nous allons utiliser la r´ecurrence sur n. I Cas de n = 1 : α1 = f est convexe alors f (α1 x1 ) 6 α1 f (x1 ) I Cas de n = 2 : α1 + α2 = 1 alors α1 = α et α2 = 1 α avec α 1]. [...]