L'intégration et le développement limité

Thèmes abordés

Mathématiques, formule de Taylor, relation de Chasles, Sciences - Ingénierie - Industrie, développement limité, intégration d'une fonction, hypothèse de Riemann, droite asymptote

Résumé du document

Ce document comporte une fiche de révision de mathématiques portant sur l'intégration et le développement limité.

Extraits

[...] on fait le produit des DL avec la variable X on remplace X par sa valeur et on développe pour trouver le DL final b ⇢ ​Positivité si f 0 alors ∫ f (t)dt 0 a ⇢ ​Croissance de l'intégrale si f g alors b b a a ∫ f (t)dt ∫ g(t)dt ⇢ Fonction de signe constant et continue ⇒ intégrale nulle b b a∫ f (t)dt a∫ f dt ⇢ ​Inégalité triangulaire APPLICATION ⇢ toute fonctions continue admet une primitive b ⇢ si f est de classe C​1​ alors ∫ f ′(t) dt = f − f IAF) a ⇢ ​Parité et périodicité : Impaire a −a 0 ∫ f (t)dt = 2 ∫ f dt ∫ f dt = 0 a+T T a à ∫ f dt = ∫ f dt −a S n ) = b−a n - Rn ) = b−a n n−1 DL ET ASYMPTOTES On dit que C f admet la droite d'équation : y = ax + b comme asymptote oblique lorsque : lim − ax − = 0 ou lim − ax − = 0 b k=0 n a b k=0 a ∑ f + k b−a )→n→+∞ ∫ f dt n ∫ f dt a n f = ∑ k=0 f (xo ) k 1 h ⇔h= 1 x - on pose - on cherche a et b tels que : ; ainsi : x →+ ∞ et h → 0 f − ax − b→x→±∞ 0 ⇔ f ( 1h ) − a h − b→h→ b ⇢ ​Formule de Taylor avec reste intégrale x→−∞ ➢ ​Méthode pour trouver l'équation d'une asymptote oblique : ∑ f + k b−a )→n→+∞ ∫ f dt n 1 ⇢ ​Valeur moyenne d'une fonction b−a la position de la courbe par rapport a la tangente à V (xo ) est donnée par le signe p de ap − xo ) x→+∞ ⇢​Somme de Riemann : - T périodique a TANGENTE ET POSITION RELATIVE ⇢ Si f admet un DL​1​(x​0​) de la forme : f = ao + a1 − xo ) + oxo − xo ) fonction est dérivable en xo et f (xo ) = ao ; f ′(xo ) = a1 le courbe représentative de f admet en xo une tangente d'équation : y = ao + a1 − xo ) p p de plus si f admet un DLp(x​o​) ; p>1 de la forme : f = ao + a1 − xo ) + ap − xo ) + − xo ) ) - Paire a MATHS Développements limités − xo + x ∫ xo (x−t)n f n dt PROLONGEMENT PAR CONTINUITÉ ➢ ​Méthode pour trouver le prolongement de classe C​1​ par continuité en xo de f continue sur ℝ-{x​o​} Prolongeable en xo ? [...]

[...] L'intégration et le développement limité MATHS Intégration PROPRIÉTÉS ⇢ ​Linéarité et relation de Chasles OPÉRATIONS ⇢ ​Somme on additionne les DL et on troque pour mettre au même o(xn ) ⇢P ​ roduit on multiplie les DL et on garde que les o(xn ) ➢ ​Méthode pour réaliser un quotient de DL : on interprète de quotient comme un produit de 2 termes on fait séparément les DL des 2 termes on cherche à retrouver une forme connue en posant . [...]

[...] trouver ​l'équivalent ​de f en xo puis une ​limite finie l​ donc f est ​prolongeable par continuité​ en xo telle que f (xo ) = ​l Dérivable en xo ? [...]

[...] faire un DL​1​( xo ) par définition fonction est dérivable en xo et f ′(xo ) = a1 Fonction dérivée continue en xo ? [...]