Les intégrales et primitives d'une fonction continue

Thèmes abordés

Intégrales, primitives, fonction continue, aire, relation de Chasles

Résumé du document

Dans le repère (O, I, J), le rectangle rouge a comme dimension 1 sur 1.
Il s'agit du rectangle "unité" qui a pour aire 1 unité d'aire. On écrit 1 u.a.
L'aire du rectangle vert est égale 8 fois à l'aire du rectangle rouge.
L'aire du rectangle vert est donc égale à 8 u.a.
Lorsque les longueurs unitaires sont connues, il est possible de convertir les unités d'aire en unités de mesure (le cm2 par exemple).

Extraits

[...] est une primitive de f sur ; b]. Si F est une primitive quelconque de f sur ; alors = + k pour tout x appartenant à l'intervalle ; b]. Donc = ,--,. d. = + k. Comme = + k et = alors k = D'où ,--,. d. = F(a). Intégration PARTIE 3 CALCUL DE L'INTEGRALE D'UNE FONCTION CONTINUE 1 Le nombre ,--,. . Avant-propos : Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle. Deux primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante k : si F et G sont deux primitives de f sur un intervalle il existe alors un réel k tel que, pour tout x de = + k. [...]

[...] Ce qui prouve que G est également primitive de la fonction f. Réciproque : Si F et G sont deux primitive de f définie sur un intervalle alors il existe un nombre réel k tel que, pour tout nombre réel x appartenant à on a = + k. Démonstration : Soit F et G deux primitives de f sur I. On sait donc que pour tout réel F '(x) = G'(x) = f(x). Soit H la fonction définie par = G(x). [...]

[...] = 0 soit S1 = S2. Par translation de vecteur ,-, , ; . ,., ces deux aires égales correspondent aux aires des parties de la propriété. Méthode : Calculer une valeur moyenne : Soit f la fonction définie sur l'intervalle ; par = ,- .,-.−,-.+. Déterminons la valeur moyenne de f sur l'intervalle ; : f, ; 8]. f, ; = ,1-−. ,-- ,. d. donc f, ; = (,1-40.,-3.−,1-2.+1) d. = ,1-14. ,,,1-160.,-4.−,1-4.,-2.+.-−6-8. = ,1-14. = ,1-14. [...]

[...] = Remarque : Une intégrale peut être nulle alors que la fonction f n'est pas nulle. Par exemple avec la fonciton cosinus, on a : ,0--,(cos-). d. = ,,,sin- . -0-. = (cos π) (cos = 0 0 = 0. Les aires entre l'axe des abscisses et la courbe cos sur ; π/2] et [π/2 ; π] sont égales et comme cos est positif sur ; π/2] et négatif sur [π/2 ; π]. L'intégrale de 0 à π de la fonction cos est égale à 0. [...]

[...] = S1 S2 ,-- ,. . = ,-- ,. . ,--,,.+, . . = ,-- ,. . + ,-- ,. . Si 0 pour tout x de alors ,-- ,. . 0 Si pour tout x de alors ,-- ,. . ,-- ,. . Si m M pour tout x de alors ,-- ,. . ,-−. ,-- ,. . [...]