La géométrie fractale

Thèmes abordés

Fractale, mathématiques, topologie, structure, Mandelbrot

Résumé du document

Les mathématiques classiques partent sur le principe que tout est fait à partir de surfaces plates et régulières (cube, pyramide, sphère…) comme l'illustre notre architecture.
Les fractales en revanche s'appuient sur la structure de la nature, qui contrairement aux apparences et aux croyances ancestrales est complètement ordonnée. En effet, on constate que les nuages ne sont pas des sphères, les montagnes des cônes, ni les îles des cercles et leurs description et explication mathématique nécessitent une nouvelle géométrie : la géométrie fractale, par Mandelbrot.

Extraits

[...] Ainsi de suite. Prenons maintenant le cas du tapis de Sierpinsky (voir ci- dessous). On peut diviser la figure en deux en retirant deux points de dimension 0. Celle du triangle de Sierpinsky est donc 0+1=1. Cette méthode peut s'appliquer pour n'importe quel objet et la dimension obtenue sera toujours entière. Dimension des boîtes (box-counting) La dimension des boîtes est apparue dans les années 1930. Cette méthode est la plus simple à comprendre car elle consiste simplement à remplir une figure donnée de carrés de coté ε, sachant que plus ε sera faible, plus la mesure de la dimension de la figure sera précise. [...]

[...] Les différents types de fractales On définit une fractale aléatoire comme une fractale pour laquelle le choix de l'opération appliquées à chaque itération suit une loi de probabilité, on appelle cela un processus stochastique. Voici trois d'objets fractales obtenus à partir d'une formule de type : Si on l'applique pour créer des paysages en trois dimensions, ici grâce à des triangles, on obtient des résultats étonnants : A l'inverse on parle de fractales déterministes. Ces dernières ne font intervenir aucune composante aléatoire. [...]

[...] Selon la formule ci-dessus, on obtient donc : Nε = 13 ε = La dimension fractale d'un chou-fleur moyen est donc : 2,33 Un problème physique : la longueur des côtes La longueur de la côte de Bretagne mesurées avec plusieurs étalons On remarque que plus le pas ε est petit, plus le périmètre p augmente. La longueur est donc fonction d'une puissance d du pas, soit p = . Cette valeur d sera la dimension fractale de la côte. Ce problème étant rattaché à la méthode des boîtes, plus l'étalon est petit, plus la mesure du périmètre sera précise. [...]

[...] La dimension fractale Le concept de dimension est très ancien, car c'est Euclide lui-même qui l'a établit depuis 300 ans avant J.-C. Pour lui, un point possède une dimension une figure plane et on parle de 3 dimensions dans le cas d'un solide comme un cube par exemple. D'ailleurs, on remarque qu'il y a un lien entre la dimension d'un objet et son unité de mesure. Un objet de dimension 2 se mesure en et un objet de dimension en m3. [...]

[...] Il existe plusieurs façons de calculer la dimension topologique d'un objet. Pour cela, on pose que la dimension du vide vaut -1. Si un objet peut être divisé en un ou plusieurs objets disjoints en enlevant une partie de dimension n la plus petite possible, alors, on dit que l'objet de départ est de dimension topologique n+1. Ainsi, un point ne peut être brisé en plusieurs morceaux. Dans ce cas là, n est donc égal au vide : -1. Le point est donc de dimension -1+1=0. [...]