Les fractales : un délire mathématique ou un outil propice à la modélisation du réel

Résumé du document

La géométrie Euclidienne, c'est a dire les droites, les cercles, les rectangles, les

Extraits

[...] Enfin, certains astrophysiciens ont remarqué des similitudes dans la répartition de la matière dans l'Univers. En effet des zooms successifs de ce dernier donnent sans cesse une image similaire, caractéristique d'un système fractal. Soumis à leur propre gravité, les nuages interstellaires s'effondrent sur eux-mêmes, puis se fragmentent en morceaux plus petits. Ces morceaux vont eux aussi avoir tendance à s'effondrer .Ces effondrement successifs, seraient à l'origine de cette structure (partiellement) fractale. Ce point de vue a donné naissance au modèle de l'univers fractal, décrivant un univers basé sur des gigantesques fractales, où chaque zoom sur un détail révèle des nouvelles structures, des nouveaux mondes. [...]

[...] -Mais le domaine où les fractales sont les plus exploitées est celui de l'art graphique à savoir la modélisation des paysages naturels en 3D. Des paysages fractals de synthèse ont été utilisés par exemple dans le film de science fiction Star Treck II. Les fractales naturelles sont des objets observables dans la nature, présentant une structure similaire aux fractales. Ce ne sont pas véritablement de vrais fractals, car l'échelle à laquelle le motif se répète se limite jusqu'à celle de l'atome. [...]

[...] Un exemple célèbres de fractales non linéaire : a)Fractale de Cantor : Cet ensemble débute par un simple segment. Puis à chaque itération, on supprime le tiers central de chaque segment. A chaque étape : Le nombre de segments est doublé La longueur de chaque segment est divisée par trois A la nième étape, il y a donc 2^n segment d'une longueur Or il y a un nombre infini d'étape -puisque c'est une fractale- d'où un nombre infini de segments de longueur tendant vers 0 Le concept de fractale a permis de comprendre de nombreuses structures et de nombreux phénomènes naturels ou artificiels. [...]

[...] Les scientifiques ne sont pas découragés et le mathématicien Benoît Mandelbrot, a montré l'intérêt de la géométrie fractale pour caractériser les objets ayant la propriété de pouvoir être décomposés en morceau de telle façon que chaque partie soit une image réduite du tout. C'est à dire que si vous regarder un objet au microscope ou à l'œil nu, vous allez voir la même chose. Un fractal continue donc à présenter une structure détaillée à toute échelle. Le terme fractale ou fractal vient en effet du latin fractus qui désigne un objet fracturé de forme très régulière. [...]

[...] Pour chaque valeur de z0 la suite peut converger ou diverger. Si la suite converge pour un certain Z0 on noircit le point qui lui est associé dans le plan complexe. On dite que ce point appartient à cet ensemble de julia. En effet on montre que, si au cours des itérations le module de reste inférieur à la suite est alors convergente. Balayant toute les valeurs possible de tout en gardant c (arbitraire) constante on obtient une fractale de type Julia. [...]