Formulaire de Mathématiques PCSI (première année de classe préparatoire scientifique)

Résumé du document

Ce formulaire rassemble les définitions essentielles et les principaux résultats du cours de première année de classe préparatoire scientifique PCSI. Il permet d'avoir un accès rapide aux points importants du cours.

Extraits

[...] Formulaire de Mathématiques PCSI - Brice Rothschild Equivalent du théorème des gendarmes Soient (un ) et (vn ) deux suites. (un ) a pour limite + Si un vn à partir d'un certain rang alors (vn ) a pour limite Suites extraites Dénition On dit que la suite (vn ) est une suite extraite de (un ) ssi il existe une fonction ϕ : N N strictement croissante telle que vn = uϕ(n) Théorème Si une suite admet une limite, alors toute suite extraite de cette suite admet la même limite Comparaison de suites Soient (un ) et (vn ) deux suites Suite négligeable Dénition : On dit que (vn ) vn = n un ( n ) = 0 est négligeable devant (un ) ssi il existe une suite ( n ) vériant Propriété : Si (un ) est une suite de termes non nuls à partir d'un certain rang, alors (vn ) est négligeable v devant (un ) ssi ( un ) = 0. [...]

[...] Soit vk ) une famille de vecteurs de E . Le rang de la famille vk ) est la dimension de vect(v vk ) 14.3 Application linéaire dénie par l'image d'une base Rang d'une application linéaire On appelle rang d'une application linéaire f la dimension de Im(f ) Formulaire de Mathématiques PCSI - Brice Rothschild Théorème du rang Si f : E F est une application linéaire, avec E ensemble de dimension nie, alors dim(E) = dim(Ker(f + dim(Im(f Caractérisation des isomorphismes Si f : E F est une application linéaire, avec E ensemble de dimension nie, alors f injective f isomorphisme dim(E) = dim(F ) f surjective dim(E) = dim(F ) 14.4 Somme, supplémentaires, projections et symétries Soit E un espace vectoriel sur K. [...]

[...] Second membre P (x)eαx : Dans ce cas, on pose y = zeαx . En remplaçant dans les exponentielles se simplient et on se ramène à une équation à second membre polynômial en z Du second degré Solutions de l'équation homogène Soient R L'équation caractéristique de l'équation y + ay + by = 0 est r2 + ar + b = 0. Les solutions de l'équation y + ay + by = 0 sont les fonctions de la forme : Si > x λer1 x + µer2 x avec r1 et r2 racines réelles distinctes de l'équation caractéristique ; Si = x (λx + µ)erx avec r racine double de l'équation caractéristique ; Formulaire de Mathématiques PCSI - Brice Rothschild 10 Si [...]

[...] Rang d'une matrice . Etude de sous-ensembles de Mn Produit scalaire 15.1 Dénition, premières propriétés Espaces euclidiens Généralités Matrice d'un automorphisme orthogonal Endomorphismes orthogonaux 17 Ensembles nis Dénombrements Triangle de Pascal, binôme, cardinal de P III Géométrie 18 Les coniques Dénition Caractéristiques d'une éllipse et d'une hyperbole Généralités Courbes en coordonnées polaires Les courbes paramétrées Formulaire de Mathématiques PCSI - Brice Rothschild Géométrie plane 20.1 Produit scalaire Droites du plan Cercles du plan Produit scalaire, produit vectoriel, déterminant Droites, plans, et shères de l'espace Géométrie dans l'espace 21 Formulaire de Mathématiques PCSI - Brice Rothschild 4 Première partie Analyse 1 Nombres complexes 1.1 Dénitions et résultats à connaître Conjugué, module, opérations sur les modules Forme cartésienne z = a + ib Forme polaire z = ρeiθ Conjugué z = a ib Module z = a2 + b Formule de Moivre (cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ) avec θ R et n Z Formule d'Euler avec θ R cos θ = e 2 eiθ sin θ = avec θ R 2i iθ Racines nièmes d'un complexe L'ensemble des solutions de l'équation z n = 1 dans C est l'ensemble des complexes de la forme e L'équation admet exactement n solutions dans C. [...]

[...] Somme des termes d'une suite géométrique : Sn = u1 + u2 + . + un = u1 n , avec q = 1. Formulaire de Mathématiques PCSI - Brice Rothschild Fonctions de deux variables 11.1 Parties de R Fonction de deux variables On appelle fonction de deux variables une fonction E R f 11.3 Applications partielles Soit A = E avec E une partie ouverte de R Dénition La première application partielle de f en A est l'application ϕ1 : x f ; La deuxième application partielle de f en A est l'application ϕ2 : y f Continuité Si f est continue en alors ϕ1 et ϕ2 sont continues respectivement en a et en b (réciproque fausse) Dérivées partielles Dénition On dit que f admet une première dérivée partielle en A ssi ϕ1 : x f est dérivable en a. [...]