formulaire de géométrie

Thèmes abordés

Géométrie démonstration droites angles

Résumé du document

Ce document est à destination d'élèves de toisième voire de seconde. Il permet de rappeler tous les théorèmes et propriétés à connaitre pour effectuer une démonstration de géométrie. Il a pour intérêt de résumer les méthodologie à employer pour réaliser une démonstration mais ce n'est pas le cours complet. Il est très utile comme "pense-bête" et permet de conserver un aperçu global de tout ce qu'il faut avoir en tête comme propriétés

Extraits

[...] CALCULER DES LONGUEURS Trigonométrie Dans un triangle rectangle, dont on connait la longueur d'un côté et la mesure d'un angle on peut utiliser la trigonométrie: cos ABC = côté adjacent sin ABC = coté opposé hypoténuse hypoténuse tan ABC = coté opposé côté adjacent B Angle ABC hypoténuse Côté adjacent A C Coté opposé Théorème de Thalès Dans un triangle ABC, si les points B et C sont alignés dans cet ordre et que les droites et sont parallèles alors d'après le théorème de Thalès on A AM = AN = MN AB AC BC N M C B CALCULER DES ANGLES Dans un triangle rectangle, dont on connait les longueurs de côtés on peut utiliser la trigonométrie: cos ABC = côté adjacent sin ABC = coté opposé hypoténuse hypoténuse tan ABC = coté opposé côté adjacent B Angle ABC Côté adjacent hypoténuse A C Coté opposé On peut aussi utiliser la propriété suivante concernant les triangles: dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°. Ainsi, si l'on connait deux angles, ils suffit de faire une petite soustraction pour connaître le troisième. On peut aussi penser aux angles formés par deux droites parallèles qui seraient coupées par une sécante. Angles opposés par le sommet Angles alternes internes Angles correspondants 2 angles alternes internes ont la même mesure. Il en est de même pour les angles opposés par le sommet et les angles correspondants. [...]

[...] v Pour démonter la colinéarité de deux vecteurs on peut utiliser selon les cas: A B la règle du parallélogramme → → → → Si ABCD est un parallélogramme alors AB= DC et AD = BC C D la relation de Chasles: → → → AC = AB + BC Après avoir démontré que les vecteurs sont colinéaires, on utilise la propriété: si deux vecteurs sont colinéaires alors les droites formées par ces vecteurs sont parallèles. DEMONTRER QUE DEUX DROITES SONT PERPENDICULAIRES Réciproque du théorème de Pythagore Dans le triangle, on recherche le plus grand côté (qui sera l'hypoténuse si le triangle est rectangle). Lorsque l'on a trouvé ce côté on a aussi trouvé où serait l'angle droit (juste en face). On peut appliquer la réciproque. Dans le triangle ABC, BC est le plus grand côté. [...]

[...] La hauteur étant la droite issue d'un sommet et perpendiculaire au côté opposé, on peut dire que cette droite est perpendiculaire au coté opposé. Triangle et cercle Si C est un point d'un cercle et le diamètre de ce cercle, alors le triangle ABC est rectangle en C. Tout triangle inscrit dont un côté est aussi le diamètre du cercle est rectangle. Il existe aussi la propriété suivante: Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une sera perpendiculaire à l'autre. [...]

[...] L'angle au centre concerne lui deux points du cercle et le sommet étant le centre du cercle, A O N M MAN et MBN sont deux angles inscrits B MON est un angle au centre Ici, les angles MAN , MBN et MON interceptent le même arc(c'est-à-dire que l'angle formé forme l'arc de cercle MN) Dans ce cas propriétés sont utilisables: Deux angles inscrits qui interceptent le même arc de cercle, ont la même mesure ici: MAN = MBN Un angle inscrit mesure la moitié de la mesure de l'angle au centre qui intercepte le même arc Ici: MAN = 1 MON ou aussi MON = 2 MAN 2 Triangles isocèle ou équilatéral Dans un triangle isocèle les deux angles à la base ont la même mesure Dans un triangle équilatéral, les trois angles ont la même mesure de 60° Bissectrice d'un angle La bissectrice est la demi-droite qui partage un angle en deux angles de même valeur. Il ne faut pas non plus oublier les propriétés concernant les quadrilatères qui peuvent être utiles pour démontrer des longueurs égales, des angles droites ou des droites parallèles. Voici, les propriétés de ces différents quadrilatères. [...]

[...] Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors ces deux droites sont parallèles entre elles. Théorème de la droite des milieux Si une droite passe par les milieux de deux cotés d'un triangle, alors cette droite est parallèle au troisième coté. Réciproque du théorème de Thalès: Dans un triangle ABC, si les points B et C sont alignés dans le même ordre et que l'égalité AM = AN = MN alors d'après la réciproque du théorème de Thalès les droites AB AC BC et sont parallèles. [...]