Les fonctions circulaires et hyperboliques

Résumé du document

Cours de maths niveau prépa - Les fonctions circulaires et hyperboliques

Extraits

[...] Dans le cas contraire, c'est à dire pour x du type avec k entier relatif, on vérifie directement que l'égalité est encore vraie, les deux membres étant égaux à Equation classique acos(x)+bsin(x)=c. On suppose bien sûr ( 0). Il existe alors un élément ( de tel que En divisant par , l'équation proposée prend la forme équivalente : , soit encore : avec On est donc ramené à une équation fondamentale, facilement résoluble lorsque FONCTIONS CIRCULAIRES RECIPROQUES. Fonction Arcsin. (Arc-sinus). [...]

[...] Nous allons suivre un schéma analogue à celui de l'étude précédente. f désigne ici la restriction de la fonction cosinus à l'intervalle de départ et l'ensemble d'arrivée 1]. Il s'agît là aussi d'une fonction continue strictement monotone (décroissante) sur un intervalle de donc une bijection de cet intervalle sur l'intervalle image 1]. Nous appellerons fonction Arc-cosinus (notée Arccos ) la réciproque g de cette restriction f. On aura donc par définition même : , Arccos(y)=x ( y=cos(x) . ( x cos(Arccos(x))=x . [...]

[...] Relations premières. Rapports entre sin, cos, tan. Rappelons que les fonctions cosinus et sinus définies sur R sont reliées par l'identité fondamentale : La fonction tangente est définie sur ; k } par En divisant par la première identité mentionnée on en déduit l'égalité classique reliant directement cosinus et tangente : Symétries principales. Le tableau suivant résume les conséquences sur les fonctions trigonométriques usuelles des symétries usuelles sur le cercle unité. On les retrouve facilement à l'aide d'un schéma. Equations de base. [...]

[...] D'après la formule d'addition : et on sait que est l'inverse de cos²(x). On est donc ainsi ramené à l'équation équivalente : tan(x-1)-tan(x- Or L'équation peut donc aussi se traduire : cos(x-1)cos(x- 5)=cos(4)cos²(x) Poursuivons en transformant le produit des cosinus en : On obtient alors : cos(2x-6)+cos(4)=2cos(4)cos²(x) , ou encore : cos(2x- 6)=cos(4)cos(2x) En développant le premier membre, il vient : cos(2x)cos(6)+sin(2x)sin(6)=cos(4)cos(2x) Ceci donne enfin la forme simplifiée équivalente : Les solutions sont donc les réels : ; k(Z En utilisant les formules de factorisation et de linéarisation pour le cosinus on peut écrire : L'équation donnée équivaut alors à : 2cos(4)cos²(x)=cos(2x)+cos(8) ou encore, grâce à la formule de l'arc double, à : cos(2x)+cos(8)=cos(4)(cos(2x)+1) On en déduit On peut simplifier ce quotient de sinus avec la relation sin(3a)=3sin(a)- 4sin3(a), obtenue à l'aide des formules d'addition. [...]

[...] Fonction Arctan (Arc-tangente). Nous considérons ici la restriction f de la tangente au seul intervalle de départ , [ Elle est continue, strictement croissante sur cet intervalle qu'elle relie donc bijectivement à l'intervalle ouvert délimité par les limites aux bornes, c'est à dire La réciproque g sera naturellement appelée fonction Arc-tangente et notée Arctan. On a donc immédiatement, suivant la définition : ( y(R et , [ Arctan(y)=x ( y=tan(x) . ( x(R tan(Arctan(x))=x . Arctan(tan(x))=x . uniquement si x , [ _ La fonction Arctan est continue, strictement croissante sur R entier. [...]