Les fonctions - publié le 14/02/2022

Résumé du document

Il s'agit d'une fiche de révision concernant l'étude de fonction.

Vous y trouverez la méthodologie et les différentes étapes d'une étude de fonction :
- Etude du domaine de définition
- Justification de l'existence de la dérivée et calcul de cette dernière
- Etude du signe de la dérivée pour en déduire les variations de la fonction étudiée pour finir par les calculs d'extrema et de limites.

Toutes ces étapes sont travaillées sur un exemple de fonction (quotient de deux polynômes de degré 2).

Extraits

[...] Une ´etude d´etaill´ee n'est donc pas faite ici, les r´esultats sont donn´es directement dans le tableau de signe et de variations ci-dessous x −∞ −1 1−x + (x2 − 2x − 3)2 + f ′ + 1 + − 0 + 0 − + + + 0 − 0 +∞ +∞ 3 − +∞ −3 f −1 −∞ −∞ − Calculs des limites et extrema f = −12 +2×1+ −2×1−3 Pour x = −3 −x2 +2x+11 x2 −2x−3 = x2 ×(−1+ x2 + 112 ) x x2 ×(1− x2 − 32 ) x = −1+ x2 + 112 1− x2 − mˆeme pour x tendant vers +∞ −x2 + 2x + 11 −→ 8 et x2 − 2x − 3 −→ x→3+ x→3+ Donc f −→ +∞. x→3+ 4 x 3 x2 −→ −1. Le r´esultat est le x→−∞ −x2 + 2x + 11 −→ 8 et x2 − 2x − 3 −→ 0− x→3− x→3− Donc f −→ −∞. x→3− Les r´esultats sont semblables lorsque x tend vers -1. [...]

[...] Le x2 −2x−3 domaine de d´efinition de f est l'ensemble des r´eels priv´e des valeurs de x telles que : x2 − 2x − 3 = 0. Il s'agit ici de trouer les racines d'un polynˆome du second degr´e. Il existe plusieurs m´ethodes pour r´esoudre cette ´equation. Prenons la m´ethode ”classique” apprise en 1`ere, calculer les racines l'aide du discriminant. Avant toute chose, quelques rappels sur la m´ethode. Consid´erons un polynˆ ome du second degr´e ax2 + bx + c avec c ∈ a 0. On d´efinit le discriminant, not´e par ∆ = b2 − 4ac. [...]

[...] La m´ethodologie est la mˆeme V´erifications graphiques L'´etude de fonction est ` a pr´esent termin´ee. Il est maintenant possible l'aide d'un ordinateur ou d'une calculatrice de tracer la repr´esentation graphique de la fonction et v´erifier les r´esultat de variations et de limites. Nous constatons finalement que notre ´etude de fonction a ´et´e correctement r´ealis´e. [...]

[...] 2a Reprenons notre exemple, on cherche les racines du polynˆome x2 − 2x − 3. ∆ = (−2)2 − 4 × 1 × (−3) = 16 > 0. Donc x1 = √ −(−2)− = −1 et x2 = √ −(−2)+ Conclusion : Df = R \ {−1; 3 Justification de d´erivabilit´e La fonction f est d´erivable sur R \ {−1; comme quotient de fonctions d´erivables sur R \ {−1; Calcul de la d´eriv´ee La fonction f est un quotient, on rappelle le r´esultat suivant : Pour une fonction f s'´ecrivant : f : x → eriv´ee f' s'´ecrit : f ′ : x → , la fonction d´ u′ (x)v(x)−u(x)v ′ . [...]

[...] Pour 2 +2x+11 cela, nous consid´erons la fonction f : x → −x . Cherchons l'´etudier. x2 −2x−3 ´ 2 Etude du domaine de d´efinition Pour rappel le domaine de d´efinition d'une fonction not´e Df , est l'ensemble des valeurs x pour lesquelles il est possible d'´ecrire f En math´ematiques il existe des op´erations interdites, d´eterminer l'ensemble de d´efinition d'une fonction consiste d´eterminer l'ensemble des valeurs x qui n'entraˆıne pas les op´erations interdites ci-dessous : 1. Diviser par 0 √ 2. [...]