La fonction logarithme népérien - publié le 01/03/2009

Résumé du document

La fonction logarithme népérien, cours de 8 pages niveau terminale



La fonction logarithme népérien, notée ln , est définie sur ] 0,+? [ , prend la valeur 0 en x =1, est

continue sur ] 0,+? [ et admet pour dérivée la fonction x 1

x





1. Définition de la fonction logarithme népérien

2. Propriétés algébriques

3. Résolution d'équations et d'inéquations

4. Etude de la fonction logarithme

Extraits

[...] Définition de la fonction logarithme népérien La fonction logarithme népérien, notée ln , est définie sur ] [ , prend la valeur 0 en x ' est continue sur ] [ et admet pour dérivée la fonction x 1 x 2. Propriétés algébriques Relation fonctionnelle Théorème ] + [ , ] + [ ln ab ' ln a + ln b Démonstration Soit a un réel strictement positif. Soit la fonction ϕa définie sur ] [ par ϕa ( ' ln(ax) . [...]

[...] Etant croissante, elle admet pour limite en . Conséquence lim ln x x x Démonstration En utilisant le théorème sur la limite d'une fonction composée, on a : lim 1 1 ' et lim ln x ' lim ln ' x x x x x x>0 Puisque ln 1 ' ln x alors lim ln x ' x x L'axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln Tableau de variation : x + + + 0 - Conséquence Il existe un nombre et un seul noté e tel que ln e ' 1 Une valeur approchée de e est e ~ Représentation graphique 2 y=x-1 x e Remarque Soit la courbe représentative de la fonction ln dans un repère ( O , i , j ) La tangente à la courbe au point d'abscisse x ' 1 est la droite d'équation y ' x 1 La tangente à la courbe au point d'abscisse x ' e est la droite d'équation passe par le point y ' x e (cette droite 5. [...]

[...] La fonction ϕa est dérivable sur ] [ comme composée de deux fonctions . Donc, ] [ : ϕ ' a ax x ϕ est donc une primitive de 1 ; elle diffère donc de ln d'une constante. Il existe donc un réel C x tel que, ] [ : ϕa ( ' ln x + C . Or, ln 1 ' donc C 'ϕ a ' ln a . [...]

[...] l'inéquation : ln( x2 ln x + 2 ln 2 a. Les valeurs cherchées doivent vérifier x2 5 > 0 x > 0 Les solutions doivent appartenir à D ' + Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux. Si x + , ln( x2 ' ln x + 2 ln 2 ln( x2 ' ln(4x) x2 4x 5 ' 0 L'équation du second degré admet et 5 pour racines. Seule la racine 5 est solution puisque + L'ensemble des solutions de l'équation ln( x2 ' ln x + 2 ln 2 est S ' { 5 } b. [...]

[...] ' ln1 ' a a Propriété [ , ] [ ln a ' ln a ln b b Démonstration Elle se déduit des deux relations précédentes : calculons [ , ] [ ln ' ln( a a ) ' ln a + ln ' ln a ln b b b b Logarithme d'un produit de nombres réels strictement positifs Propriété ] + [ , ln an ' n ln a Logarithme d'une racine carrée Propriété ] + [ 1 ln ln a a a ' Résolution d'équations et d'inéquations Théorème [ , ] + [ , ] [ ] + [ ln a ' ln b a ' b ln a 0 x 4 > 0 Les solutions doivent appartenir à D ' ] + [ Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux. Ainsi : si x ] + [ , ln(3x +'1) ln( x 3x + 1 ' x 4 5 L'équation n'admet pas de solution dans R puisque 5 x ' 2 ] + [ 2 Exemple Résoudre dans R a. l'équation ln( x2 ' ln x + 2 ln 2 b. [...]