Fonction exponentielle, équation différentielle, limites remarquables, dérivée de la fonction exponentielle, réel quelconque
On appelle fonction exponentielle, notée « exp », l'unique solution de l'équation différentielle y' = y vérifiant la condition f(0) = 1.
Théorème : Les solutions de l'équation différentielle y' = ky où k est un réel donné sont les fonctions f définies par f(x) = aexp(kx), a étant un réel quelconque.
[...] avec n un entier relatif quelconque II) Etude de la fonction - La fonction exponentielle est dérivable sur R - La dérivée de la fonction exponentielle est égale à elle-même. - Pour tout x de exp(x) > 0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante sur R. La courbe de la fonction exponentielle : III) Limites remarquables - Limite : - ,,lim-x + . = + - .,e-x. = 0 - ,,lim-x + . = 0 pour tout n entier naturel - . ,e-x. = 0 pour tout n entier naturel - 1-x . [...]
[...] ~ 1 + x - La fonction exponentielle est strictement croissante sur R. Ainsi c'est une bijection de R sur ; + . - Résolution de l'équation ,e-x. = k : - si k 0 alors l'équation n'a pas de solution - si k > 0 alors l'équation admet une solution unique α et α = ln(k) On appelle fonction logarithme népérien l'application réciproque de la fonction exponentielle. - Pour tout a de pour tout b de ,e-a. = ,e-b. [...]
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