La fonction exponentielle - publié le 30/07/2013

Thèmes abordés

Fonction exponentielle, croissances comparées, courbe représentative, propriétés algébriques, variations

Résumé du document

Remarques: On note exp la fonction exponentielle : On a alors exp (0) = 1 et exp(x) = (exp (x))'.

Démonstration : Démontrons d'abord que la fonction f ne s'annule pas sur R.
Soit f une fonction qui vérifie f(0) = 1 et pour tout x, f '(x) = f(x).
D'après les formule de dérivation d'une fonction composée, la dérivée de x : f(-x) est la fonction x : -f '(-x).
Soit la fonction h définie sur R par h(x) = f(x) × f(-x). Pour tout réel x, on a :
h'(x) = f'(x) × f(-x) + f(x) × (-f '(-x)).
= f'(x) × f(-x) – f(x) × f '(-x)).
= f(x) × f(-x) – f(x) × f(-x)
= 0.

Extraits

[...] - = = = Il faut d'abord utiliser l'identité remarquable + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 et b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3. Il suffit d'utiliser les propriétés que l'on a vues précédemment. Ici e-x = ,-,- . et (ex)n = enx et ex+y = ex×ey et ex-y = ,,- .-,- . Méthode: Transformer une expression Montrons que ,e-.−6+,5-,e- . = ,e-−.×,,e-.−5.,,e-.− On a ,e-−.×,,e-.−5.,,e-.−1. = ,e-−.×,,e-.,e- .−,e-.−5,e-.+5. = ,e-−++.−6,e-−.+ 5,e-−. = ,e-.−6,e-0.+ 5,e-−. = ,e-.−6+ ,5-,e- . Méthode: Transformer une expression Montrons que ,e-3.,1−,e-−.−2,e-−3 . = ,e-3.−,e-2.−2. [...]

[...] Cette fonction est appelée fonction exponentielle. Propriété : La fonction exp est strictement positive sur ℝ. Remarques: On note exp la fonction exponentielle : On a alors exp = 1 et exp(x) = (exp (x))'. Démonstration : Démontrons d'abord que la fonction f ne s'annule pas sur ℝ. Soit f une fonction qui vérifie = 1 et pour tout f '(x) = f(x). D'après les formule de dérivation d'une fonction composée, la dérivée de x est la fonction x '(-x). [...]

[...] Par conséquent, k est une fonction constante. Or = ,(0)- (0). = 1 donc pour tout = 1. Donc = Variations Propriété : La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ. Démonstration : Comme exp(x) = (exp (x))' et que exp(x) est positive sur ℝ, par conséquent (exp (x))' est positive et donc si la dérivée est positive, alors la fonction est croissante. Donc exp est croissante sur ℝ. Conséquences : Pour tout nombres réels a et b : 3 Limites en et Propriété : Démonstration : Soit g la fonction définie sur ; par = exp(x) x. [...]

[...] Nous pouvons ainsi calculer les variations de f. Comme ,e-−,- est strictement positif, f '(x) est du signe de -2x. Ainsi f '(x) 0 lorsque x 0 et f '(x) 0 lorsque x 0. La fonction f est donc croissante sur l'intervalle ; et décroissante sur ; Fonction exponentielle PARTIE 4 LIMITES USUELLES ET CROISSANCES COMPAREES 1 Croissances comparées Les limites en permettent de comparer les croissances de fonctions. Lorsque x tend vers les limites des fonctions = x et = ex sont toutes les deux égales à Donc, lorsque x tend vers la limite du rapport ,,e-.-. [...]

[...] La dérivée de la fonction exponentielle en 0 est donc e0 = 1. La définition de la dérivabilité en 0 permet d'écrire que la limite de ,,e-.−,e-0.-. existe et qu'elle est égale au nombre dérivée en c'est-à-dire ce qui revient à dire que ,,lim-→0.-,,e-.−1- . = 1. a = b exp(a) = exp(b) a [...]