Fonction cosinus et sinus

Thèmes abordés

Fonction cosinus, fonction sinus, enroulement, abscisse, ordonnée

Résumé du document

Dans un plan muni d'un repère orthonormé (O ; i,j) et orienté dans le sens direct.
On considère le cercle trigonométrique de centre O.
Pour tout réel x, considérons le point N de la droite orientée d'abscisse x,
A ce point, on fait correspondre un point M sur le cercle trigonométrique.
L'abscisse du point M est indiqué par le point H et l'ordonnée par K.

Extraits

[...] de la fonction sinus. Propriété: Fonction cosinus et sinus PARTIE 2 PROPRIETES DES FONCTIONS COSINUS ET SINUS 1 Périodicité Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. La fonction f est périodique de période T si il existe un nombre réel strictement positif T tel que, pour tout nombre réel x de on a : = f(x). Remarques: Dans un repère ; ,., ,.), la courbe représentative d'une fonction périodique de période T est invariante par translation de vecteur T, . [...]

[...] ou x = π. f '(x) > 0 + 2X 2 > 0 (2X + > 0 cos x 1)(cos x + > 0 2 cos x 1 > 0 cos x > on a alors x ,0;,- Toutes ces informations nous permettent de tracer la courbe. cos² x + sin² x = 1 sin x 1 cos x 1 sin x = (sin x +2kπ) cos x = (cos x +2kπ) cos = cos x fd sin = - sin x fd cos (,-. [...]

[...] Les points M et M1 correspondant respectivement à x et sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. On a donc bien cos = cos x et sin = - sin x. Propriété: Pour tout nombre réel on Méthode: Utiliser les lignes trigonométriques des angles associés Soit la fonction f définie sur ℝ par = sin x + cos x. Calculons f ,,- . = f ,,5-6.+,600- = f ,,5- 6.+50×2. = f ,,5- = sin ,,- . + cos ,,- . = 0,5 = ,−,-.- . Vérifions que = et regardons si la fonction est paire. [...]

[...] Toutefois une fonction est paire si, pour tout x réel, on a = f(x). Or ,-.) = sin ,-.) + cos ,-.) = + 0 = et f(,-.) = sin (,-.) + cos (,-.) = 1 + 0 = 1. Par conséquent la fonction n'est effectivement pas paire comme le disait la représentation graphique. Regardons si f est périodique de période π. Une fonction f a pour période π si, pour tout nombre réel on a f(x+π) = f(x). f(x+π) = revient à sin(x+π) + cos(x+π) = sin x + cos correspondant encore à x cos x = sin x + cos x ce qui correspond encore à 0 = 2sin x + 2cos x soit 0 = 2(sin x + cos soit encore 0 = 2 f(x). [...]

[...] Etudions ses variations et traçons sa courbe. D'abord, étudions la période de la fonction. f(x+2π) = 2 sin (x+2π) + sin 2(x+2π) = 2 sin x + sin 2x+4π = 2 sin x + sin 2x = f(x). Par conséquent, T=2π est une période de la fonction f. On peut donc faire l'étude uniquement sur ; π]. Ensuite, il est intéressant d'étudier la parité de la fonction pour la représentation graphique. = 2 sin + sin = sin x sin 2x = Par conséquent, la fonction f est impaire. [...]