Fiches de probabilités

Thèmes abordés

Sciences - Ingénierie - Industrie, Fiches de probabilités, expérience aléatoire, univers, issue d'un événement, intersection, loi de De Morgan, commutativité, axiome de Kolmogorov, permutations

Résumé du document

Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles connues, mais son résultat est incertain. L'univers correspond à l'ensemble de tous les résultats possibles de l'expérience. Un événement est l'ensemble des résultats possibles d'événements vérifiant une propriété que l'on sait être réalisée ou non une fois l'issue de l'événement connue.

Extraits

[...] On le note : D 4 D A C 2 E E E 4 − E Binôme de Newton : $ 2 ∑2DGH D D 2FD 2 $ Chapitre n°2 - Probabilités conditionnelles , ℙ ∈ I → évènements. On suppose que ℙ ℙL ℙ L∩M ℙ L ; ℙL 1 > 0 ; la probabilité conditionnelle de B sachant A est alors : + NOPQR Pour Ω fini non vide, et ℙ probabilité uniforme : ℙ Pour tout A tel que > 0 on a ℙ Propriétés : Considérons 4 2 évènements + ; . [...]

[...] F qFƒ „ / † „ ‡2@ˆ² Fxq Chapitre n°4 – Fonction de répartition Définition : si h ∶ → ℝ est une variable aléatoire réelle alors sa fonction de répartition est : Iq ∶ ℝ → définie par : ∀ ∈ Iq ℙ h≤ ☞ Propriétés caractérisant une fonction de répartition 0 lim Iq lim Iq →F} Fonction croissante : → Iq Iq La fonction Fx a une limite à gauche : ∀ ∈ Iq − →W} lim Iq Ž↑ 1 ∈ℝ Proposition dans le cadre d'une variable aléatoire à densité : X ⇒ variable aléatoire réelle de densité f continue par morceaux. Notons Iq ∶ ℝ → ℝ Alors, Iq Iq − ℙ h •F} 9 o 3o Iq 0 ⇒ ℙ ℙ h≤ Loi gaussienne centrée réduite : On suppose ~Š La loi X est la loi gaussienne centrée réduite. [...]

[...] × 4 ; nombre de bijections Formule de Stirling : 4 ≈ √2@4 A B C Arrangements sans répétition : nombre de façons de choisir k objets ordonnés. On le note 4 D 4 4−1 4− 4−E 4−E D 2 ; Combinaisons : nombre de façons de choisir k objets sans répétition et sans ordre. [...]

[...] FICHES DE PROBABILITÉS Les divers chapitres abordés : Espace des probabilités II) Probabilités conditionnelles III) Variables aléatoires IV) Fonction de répartition Chapitre n°1 - Espace des probabilités Expérience aléatoire ε : issues possibles connues, mais résultat incertain Univers Ω : ensemble de tous les résultats possible de l'expérience ε ☞ Heuristique Evènement : ensemble des résultats possibles de ε vérifiant une propriété que l'on sait être réalisée ou non une fois l'issue de ε connue ☞ Théorie des ensembles Complémentaire : : Intersection : Union : ∈ ∩ ∈ ∪ ∈ ∶ ∶ ∉ ∶ ∈ ∈ ∈ ∈ ☞ Propriétés ∩ Commutativité : ∩ ; ∪ ∪ Associativité : ∩ ∩ ∩ ∩ Distributivité : ∩ ∪ ∩ ∪ Lois de De Morgan : ∩ ̅∪ ; ; ∪ ∩ ∪ ∪ ; ∪ ∪ ∩ ∪ ∪ ∪ ∩ ∪ ∪ ̅∩ ☞ Espaces d'états finis Axiome de Kolmogorov : Probabilité ℙ vérifiant : ℙ , : " # $ é 1 ∩ ∅ → ℙ ∪ ℙ ℙ ☞ Espace d'état quelconque Pour Ω quelconque ℙ vérifie : - ℙ 1 - Si A An sont deux à deux disjoint on a : ℙ Propriétés : - 0≤ℙ ≤1 - ℙ ∪ ℙ - ℙ 1−ℙ - Si ∁ → ℙ −ℙ ℙ ∀ ∈7 & 4 ℙ ′ ℙ ) ; formule de Poincaré ≤ℙ ☞ Equiprobabilité Expérience ε qui a pour espace d'état à − 5 ∩ ) + 2 ) . ; de cardinal : # →% é # $ , " ′ − 4 3 " 9 : # 4 3 " ☞ Dénombrement Permutations : nombre de façons d'ordonner un ensemble à n éléments, 4 1 × 2 × . [...]

[...] ; 7 + ∏2F+ VG+ 7U VW+ X + ∩ . ∩ V Y 2 NOPQ L∩M NOPQL ∈&I7 + ∩ ∩ 2F+ > 0 alors 7 + ∩ ∩ 2 Toutes les probabilités conditionnelles sont bien définies : →7 ∩ →7 ∩ ∩ ∩ ☞ Formule des probabilités totales - Pour tout évènements A et si 7 > 0 et 7 > 0 alors 7 ) une famille d'évènements formant une partition Ω avec I fini ou dénombrable : ∑)∈[ 7 ) 7 ) ; ) ∩ V ∅ ] Et si 7 ) > 0 & # 7 ☞ Formule de Bayes X L A et B sont des évènements avec probabilités non nulles ; 7 - Familles d'évènements formant une partition de Ω fini ou dénombrable) On suppose que 7 ) ) > 0 ∀ X ) ∑a∈b ` V La ☞ Indépendance d'évènements A et B indépendants si : - Réalisation de B n'influe pas sur celle de A : 7 - Réalisation de A n'influe pas sur celle de B : 7 Indépendance de deux évènements : A et B indépendants si 7 ∩ 7 ^ M > Evènements indépendants On suppose A et B comme évènements indépendants 1→ %43é 43 4 → %43é 43 4 → %43é 43 4 DEMONSTRATION : f c d∩e c d −c d∩e c d −c d c e c d Ug − c e Y f c d c e 7 ⋃)∈[ ) Chapitre n°3 – Variables aléatoires ☞ Variable aléatoire Variable aléatoire X ⇒ application de Ω vers un ensemble E : h h∈ j ∈k R l ∈ m h → i vérifiant une condition de mesurabilité → : ensemble réciproque de B Mesurabilité 7 h ∈ n bien définie pour un intervalle I 7 h∈ bien définie pour une grande classe d'ensembles B = ouvert, fermé, réunion/intersection d'I Les différents types de variables aléatoires considérées ici : - Variables aléatoires discrètes : ces variables prennent un nombre fini ou infini dénombrable de valeurs - Ces variables prennent des valeurs ayant une densité : on dit qu'elle sont continues ☞ Loi d'une variable aléatoire discrète Soit X une variable aléatoire discrète : h ∈ n n 3é4 ; oV Loi de X : Loi de probabilité ou distribution de X donnée de la fonction 7q : → 7 h Calcul de 7 h ∈ : Fonction Masse : 7 h∈ r7 h ∈ ☞ Loi uniforme discrète = équiprobabilité Variable aléatoire est de loi uniforme lorsque : ℙ h r 7 h ∈L + 2 ☞ Loi de Bernouilli Modélise le résultat d'une expérience aléatoire appelée épreuve de Bernouilli et dont l'univers ne contient que deux états : Succès ou Echec 7 h 1 Notation : 7 h # 0 1− ; où p est la probabilité du succès ☞ Loi binomiale Modélise le nombre de succès lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernouilli h t A C D 1 − 2FD E Notation : ; où p est la probabilité u succès et n le nombre de fois que l'on a répété l'expérience ☞ Loi géométrique Modélise le nombre d'essais nécessaires pour obtenir le premier succès lors de répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernouilli 7 h t 1 − DF+ Notation : h~u ; où p est la probabilité du succès ☞ Loi de Poisson Modélise le nombre de réalisation d'un évènement de faible probabilité ℙ h t B vw xy D λ : nombre de réalisation moyen de l'évènement étudié ☞ Variables aléatoires réelles à densité Loi de la variable X : loi à densité SI il existe une fonction f positive continue par morceaux ∀ ∈ ℙ h Fonction f : densité de la loi de X Aire sous la courbe : densité de la fonction f { 9 o 3o ☞ Loi uniforme = équivalent de l'équiprobabilité La variable aléatoire suit une loi uniforme sur si et seulement si sa densité est définie par : 1 ∀o ∈ 9q o % o ∈ [ , $− Notation : h~€ [ , ☞ Loi exponentielle De paramètre λ, si et seulement si sa densité est définie sur ℝ par : ∀o ∈ 9q o • Notation : h~ℇ • ☞ Loi gaussienne La variable aléatoire suit la loi gaussienne si et seulement si sa densité est définie par : ∀o ∈ 9q o Notation : h~Š ˆ . [...]