Le nombre d'or ou la divine proportion (TPE)

Résumé du document

Un aperçu historique (Pacioli, Fibonacci), une approche par les suites de Fibonacci, et enfin construction du nombre d'or en géométrie euclidienne sont étudiés.

Extraits

[...] Nombre d'or et géométrie Dans la figure ci-dessous, les triangles AHB et AIB sont semblables, ils ont donc leurs côtés proportionnels. Donc AB/AI = AH/AB ce qui donne = AI.AH On considère que AB = 1 unité et que BE aussi. Posons AI = on aura alors AH = AI - IH D'où en remplaçant dans l'égalité = x Donc x est une solution de l'équation 1 = x C'est à dire de l'équation x + 1 = 0 D'où x = Φ Donc AI = Φ Autre méthode: Le triangle ABG est un triangle rectangle, on peut donc utiliser le théorème de PYTHAGORE. [...]

[...] étant un nombre irrationnel + l'est aussi. Donc sa moitié l'est aussi. On peut donc énoncer la propriété suivante: Φ est un nombre réel et irrationnel FIBONACCI La situation dite de Fibonacci est la suivante: Un premier couple de lapins donne naissance successivement à deux autres couples de lapins. Chaque couple de lapins donne aussi naissance à deux autres couples. Chaque couple ne donne naissance qu'une fois par mois, et que pendant deux mois Traduction mathématiques en terme de suites: où est le nombre de naissance au mois est le nombre de naissances au mois est le nombre de naissances au mois n-2. [...]

[...] Le nombre d'or Φ 1. Introduction Connu sous le nom de la divine proportion, puis de nombre d'or, Φ qui vaut a été affublé de toutes les vertus et est synonyme d'équilibre. Φ est en fait la solution positive de l'équation suivante : x 2 x 1 = équation que l'on appelle aussi le trinôme d'or (on le vérifiera aisément dans le prochain paragraphe). Le nombre d'or se retrouve dans de nombreuses manifestations de la nature mais aussi dans les constructions humaines (le temple de Louksor en Egypte, le Parthénon sur l'Acropole d'Athènes, la cathédrale Sainte-Sophie de Constantinople . [...]