Espaces vectoriels normés

Résumé du document

Ce document est une fiche reprenant les principales caractéristiques des espaces vectoriels normés. En voici un extrait : "Définition : Soit A une partie de R
- On dit qu'un réel M est la maximum de A ou le plus grand élément de A et on note M = max (A) si et seulement si M A et M est un majorant de A.
- On dit que M est la borne supérieure de A et on note M = sup (A) si et seulement si M est le plus petit majorant de A.
NB : On a les mêmes définitions pour un minimum et une borne inférieure (au sens près)… "

Extraits

[...] Propriété : Toute réunion d'ouverts est un ouvert Toute intersection d'un nombre fini d'ouverts est un ouvert Toute boule ouverte est un ouvert Définition : On appelle fermé le complémentaire d'un ouvert. Propriété : Toute intersection de fermés est un fermé Toute réunion d'un nombre fini de fermés est un fermé Toute boule fermée est un fermé Remarque : Toute partie non vide, majorée et fermée de R possède un plus grand élément. Définition : Si E est un espace vectoriel normé de dimension finie, on appelle parties compactes de E les parties fermées et bornées de R. [...]

[...] ) un espace vectoriel normé. On appelle : Boule ouverte de centre x et de rayon r > 0 l'ensemble : B(x = { x E x x [...]

[...] Propriété : Si E est un K-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes sont équivalentes. (FAUX en dimension infinie III- Topologie d'un espace vectoriel normé : Définition : x est un point intérieur à A si et seulement si : r > B(x A x est un point adhérent à A si et seulement si : r > y A n B(x Remarque : Si A est une partie non vide majorée de alors la borne supérieure de A est adhérente à A / 4 Définition : On dit que la partie A d'un espace vectoriel normé est ouverte si et seulement si tout point de A est intérieur à A. [...]

[...] On dit que f est bornée si et seulement si : f est une partie bornée de E. si et seulement si : M x f = M. On note l'ensemble des applications bornées de D dans E. Propriété : est un sous-espace vectoriel d e F l'ensemble des applications de D dans E noté aussi E . D Propriété : sup Pour f on pose f = ) f ( x . On définit ainsi une norme sur (norme 8 x D uniforme). [...]

[...] Remarque : M A A étant une partie de R. M = max M = sup( A ) Définition : On appelle maximum ou borne supérieure de f : D R le max ou la borne supérieure de la partie f (s'ils existent II- Normes et Distances : Définition : Soit E un ensemble quelconque. On dit que d est une distance su r E si et seulement si : d est une application de dans Séparation : ( = 0 ) ( x = y ) Inégalité Triangulaire : E = + 3 Symétrie : = Si d est une distance sur alors est appelé espace métrique. [...]