Espaces Vectoriels - publié le 02/07/2008

Résumé du document

Cours de prépa HEC voie économique sur les espaces vectoriels (1e année!)

Extraits

[...] En dimension finie dim(L(E,F))=dim(E)dim(F) Matrices Matrice d'une application linéaire : f et une base de E B'=(f une base de F M(f,B,B') est la matrice des coordonnées colonnes de f(e1) dans la base B' c'est une matrice p lignes n colonnes Si B=B' on note la matrice Relations: YB'=M (f,B,B') XB avec XB les coordonnées de V dans B et YB' les coordonnées de dans B' M(f 0 g,B,B'')=M(f,B,B')xM(g,B',B'') et M(f -1,B',B)=(M(f,B,B'))-1 Matrice de passage : PB(B' la matrice de passage de B à B'est la matrice des coordonnées colonnes des vecteurs de B' exprimés dans la base B Relations : XB= PB(B'XB' avec XB XB' les coordonnées d'un vecteur V exprimées dans B et B' (PB(B')-1= PB'(B M (f,B1,B1')= PB1(B M (f,B,B') PB'(B1' PB(B' M(f,B')(PB(B')-1 Rang d'une matrice : le rang de M noté rg(M) est le rang des vecteurs colonnes de la matrice ( ou des vecteurs lignes) , c'est le rang de l'application linéaire dont M est la matrice et c'est le nombre de pivots non nuls après échelonnement de la matrice. M : M est l'ensemble des matrices n lignes p colonnes c'est un espace vectoriel de dimension n(p . M n(()est l'ensemble des matrices n lignes n colonnes, c'est un espace vectoriel de dimension . ()est une algèbre l'ensemble des matrices carrées inversibles n lignes n colonnes est un groupe pour ( . [...]

[...] Partie génératrice : V V Vn est une partie génératrice de E ssi ( ( tels que V=(1V1 V2 + . + (nVn Base : une partie libre et génératrice En dimension finie : toutes les bases ont le même nombre d'éléments qui est la dimension de l'espace V1, V Vn est une base ( n =dim(E) et V V Vn est une partie libre ( n =dim(E) et V V Vn est une partie génératrice Applications linéaires: E et F deux espaces vectoriels et f une application de E dans F Linéarité : f est linéaire ssi ( V1,V2 et f ( V1+(2 f(V2) f est un endomorphisme ssi f est linéaire et E = F Noyau : V } Ker est un sous espace vectoriel de E f est injective ssi Image : Im(f) W(F / ( V(E tel que Im(f) est un sous espace vectoriel de F f est surjective ssi Im(f) Propriété : f(g=0 ssi Im(g)(Ker(f) Isomorphismes : f est un isomorphisme ssi f et linéaire et f est bijective f est un automorphisme ssi f est un endomorphisme bijectif Si f et g sont des isomorphismes alors f et f sont des isomorphismes En dimension finie : Théorème du rang : dim(Ker(f))+dim(Im(f))=dim(E) dim(Im(f))=rg(f)= rang de f automorphisme en dimension finie : f étant un endomorphisme E=F f est un isomorphisme ( f injective ( ( rg(f)=dim(E) ( f surjective ( Im(f)=E Groupe linéaire: linéaire de E dans F } c'est un espace vectoriel GL(E)=Aut(E)= automorphisme de E } c'est un groupe pour la composition des fonctions on dit que c'est le groupe linéaire. [...]

[...] Mineurs cofacteurs : Mij le mineur d'ordre est obtenu en calculant le déterminant d'ordre n-1 issu de A en enlevant la iième ligne jième colonne Cij le cofacteur Cij=(-1)i+jMij Développement: développement par rapport à la iièmeligne de det(A) det(A)= = développement par rapport à la jièmecolonne de det(A) det(A)= = Propriétés : det(A(B)=det(A) det(B) ; det(A-1)=(det(A))-1 ; det(tA)=det(A) ; det((A)=(ndet(A) ; det =det(A)det(B) Applications: A est inversible ssi det(A)(0 ; C ,Cn n vecteurs de forment une base ssi det([C le produit des valeurs propres ; où COM(A) est la matrice des cofacteurs. Trace: Pour une matrice carrée la trace de A notée tr(A) = Propriétés: tr(B) ; tr(AB)=tr(BA) ; tr(A) . la somme des valeurs propres Transposée: une matrice n lignes p colonnes la transposée de A notée tA ou At est une matrice B p lignes et n colonnes avec bij=aji Propriétés: ( ; t(AxB)= x ; tA)-1 si A est inversible ; rg(A) tA) ; det( tA)=det(A) . [...]

[...] La matrice P de passage est orthogonale ( tP) et M=P(tP. TRIGONALISATION On dit qu'une matrice M est trigonalisable ssi elle est semblable à une matrice triangulaire. Caractérisation : Une matrice est trigonalisable ssi son polynôme caractéristique est scindé c.a.d dans ( il faut que le polynôme caractéristique ne possède que des racines réelles et pas de racine complexe dans toute matrice est trigonalisable (Théorème de d'Alembert tout polynôme à coefficients complexes est scindé dans C ) cas particulier : On connaît n-1 vecteurs propres libres de M où n est la dimension de l'espace . [...]

[...] Ordre d'une valeur propre : ( est d'ordre p ssi ( est racine d'ordre p pour le polynôme caractéristique. propriété: ( valeur propre de u 1 ( dim(F() ( DIAGONALISATION: u est diagonalisable ssi u possède une base de vecteurs propres ssi u possède une matrice diagonale M une matrice , M est diagonalisable ssi M est semblable à ( une matrice diagonale ( M=P ( P-1 ) caractérisation: u diagonalisable ( ( PU est scindé et pour toute valeur propre ( 2 cas particuliers: si dim(E)=n et si Pu possède n racines simples alors u est diagonalisable . [...]