Espaces euclidiens et produit scalaire - MPSI, PCSI, PTSI

Thèmes abordés

Espaces euclidiens, produit scalaire, espace préhilbertien réel, norme euclidienne, propriété de Cauchy-Schwarz, orthogonalité, propriété de Pythagore, orthogonal d'une partie, vecteur orthogonal, théorème de Gram-Schmidt, projection orthogonale, symétrie orthogonale, BON Base OrthoNormale, MPSI, PCSI, PTSI

Résumé du document

Cette fiche de cours récapitule les principales notions relatives aux espaces euclidiens et au produit scalaire.

Extraits

[...] Alors : F et F K sont supplémentaires dans E III. Projections et symétries orthogonales Définitions Soit un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On dit alors que la projection sur F parallèlement à F K est une projection orthogonale : On dit que la symétrie par rapport à F dans la direction de F K est une symétrie orthogonale. Si F est un hyperplan, on dit que la symétrie orthogonale par rapport à F est une réflexion. [...]

[...] On appelle espace préhilbertien réel tout R espace vectoriel muni d'un produit scalaire. Normes Norme euclidienne Propriété de Cauchy-Schwarz Propriétés élémentaires II. Orthogonalité Définition Propriété de Pythagore Parties orthogonales, orthogonal d'une partie Définition : Soit un espace préhilbertien réel et B des parties de E non-vides. Propriété : Soit un espace préhilbertien réel et B des parties de E. Familles de vecteurs orthogonales Propriété : Si U est orthogonale et ne contient pas le vecteur nul, alors cette famille est libre. [...]

[...] Soit un espace euclidien et F un sous-espace vectoriel de E. On note = une BON de F qu'on complète en BON de . Soit : si p est la projection orthogonale sur s la symétrie orthogonale à alors : Propriétés Théorème : un espace euclidien de dimension ; s est une symétrie orthogonale de E ssi Distance d'un vecteur à un sous-espace vectoriel Définition : Soit un espace euclidien, F un sous-espace vectoriel de . On appelle distance de x à F le nombre réel positif : Cette borne inférieure est bien définie car l'ensemble est non-vide non-vide) et est minoré par 0. [...]