Les espaces et sous-espaces vectoriels

Thèmes abordés

Sous-espace vectoriel, famille génératrice, famille libre, vecteur, scalaire

Résumé du document

Ce document est une fiche de mathématiques sur les espaces et les sous-espaces vectoriels.

Extraits

[...] Ou si la seule combinaison lin'eaire nulle est celle dont les coefficients sont nuls. ˆ F est li' ee s’il existe une combinaison lin'eaire nulle dont les coefficients ne sont pas tous nuls α1 u1 + · · · + αp up = 0E Propri'et'e d’une famille libre ˆ Deux vecteurs forment une famille libre s’ils ne sont pas colin' eaires ˆ Une famille de polynˆ omes non nuls de degr' es deux ` a deux distincts est libre ˆ Toute sous famille d’une famille libre est libre Famille libre et base Soit E un K-espace vectoriel de dimension p et F une famille libre de E. [...]

[...] Les espaces et sous-espaces vectoriels Espaces vectoriels Sous-espace vectoriel Soit E un K-espace vectoriel. On dit qu’une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si elle v'erifie: ˆ le vecteur nul de E est dans F 0E ∈ F ˆ F est stable par addition et par multiplication par un scalaire Famille g'en'eratrice Soit E un K-espace vectoriel. On dit qu’une famille · · · , up ) de vecteurs de E est g' en' eratrice de E si l’espace engendr' e par cette famille est E. [...]

[...] Rang d’une famille Soit E un K-espace vectoriel. Le rang d’une famille · · · , up ) de vecteurs de E est la dimension du sev qu’elle engendre. Rg(u · · · , up ) = dim(Vect(u · · · , up Propri'et'es du rang Soit · · · , up ) une famille de p vecteurs d’un espace E de dimension finie. [...]

[...] ˆ Si F est un sous-espace vectoriel de alors dim F≤ dim E. ˆ Si F est un sous-espace vectoriel de E et dim E = dim alors F=E Coordonn'ees d’un vecteur dans une base Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n et B = · · · , en ) une base de E. Pour tout vecteur x de il existe une unique famille de scalaires · · · , xn ) ∈ Kn tels que: x = x1 e1 + · · · + xn en Ces scalaires · · · , xn ) sont les coordonn' ees de x dans la base B. [...]