Les équations différentielles stochastiques

Résumé du document

Il s'agit d'un cours de mathématiques ayant pour objet d'étude les équations différentielles stochastiques.
Ce cours clair, exhaustif et très structuré sur les méthodes probabilistes et les modèles stochastiques s'avèrera idéal pour de nombreux(ses) étudiant(e)s en mathématiques, ingénierie, physique et bien entendu tout(e) autre intéressé(e).

Nota bene : vous trouverez la suite de ce cours dans le document intitulé « modélisation en dynamique stochastique des structures ».

Voici le plan :
- Équations différentielles stochastiques
- Le problème
- Fonctions à variations finies et intégrale de Stieljes
- L'intégrale stochastique par rapport au mouvement brownien
- L'intégrale stochastique fonction de sa borne supérieure
- Le cas vectoriel
- Processus à valeurs matrices
- Formule de Itô
- Existence et unicité des solutions de (EDS)
- Solutions fortes et faibles d'une EDS
- Propriété de Markov des solutions de EDS
- Le générateur infinitésimal d'une diffusion
- Preuve
- L'équation de Kolmogorov rétrograde
- L'équation de Fokker-Planck
- Probabilités invariantes
- Différences entre EDO et EDS

Extraits

[...] On en deduit : t est solution, au sens des distributions, de ( d t = L t dt 0 = x C'est l'equation de Fokker-Planck, ou equation d'evolution des lois de probabilite d'une di usion Probabilites invariantes Une probabilite est dite invariante pour (EDS) si, lorsque X0 a pour loi , alors t = 8t 0. Il est alors facile de constater que si est invariante, est solution de l'equation de Fokker-Planck stationnaire L = 0 ; 2 P On pourra donc rechercher les probabilites invariantes de (EDS) en resolvant l'equation de Fokker Planck stationnaire Di erences entre EDO et EDS Comme nous l'avons vu, la de nition de l'integrale de It^o n'est pas trajectoire par trajectoire mais utilise des convergences dans des espaces L2. [...]

[...] Propriete de Markov des solutions de EDS (cas homogene). Soit Xtx Z t 0 b(Xs) ds + Z t 0 dW Sous les m^emes hypotheses, la solution forte a la propriete : h y i y P = F (Xu ; = 1 8u 2 IRn; 8n 0 ou est le ot des decalages temporels sur W d : uw(s) = w(s + n y o En consequence, pour tout Xt ; t 0 est un processus de Markov Le generateur in nitesimal d'une di usion Soit le generateur in nitesimal du semi-groupe associe a la di usion = b(Xt) dt + dWt les coecients satisfaisant aux hypotheses dXt Alors, si f 2 C02(IRd) espace des fonctions de classe C 2 tendant vers 0 a l'in ni et dont toutes les derivees tendent vers 0 a l'in ni, f 2 D et d d X X @ 2f 1 ij i Af = Lf = a i j + b i 2 i;j i=1 ou a = Preuve On applique la formule de It^o a f (Xtx) Z t Z t ( ) f = ( ) ds + rf (Xsx) (Xsx) dWs Prenons les esperances mathematiques, f Xtx Ttf Lf Xsx Z t [Lf ds 0 h Zt i 1 x Af = lim E Lf (Xs ) ds t#0 t 0 f = E Les trajectoires etant continues, et Lf aussi, la limite existe pour tout x 2 IRd. [...]

[...] C'est l'integrale de Riemann Stieljes de f relativement a H . Si H = on retrouve l'int egrale de Riemann classique Si H est continue a variation nie, elle est di erence de deux fonctions cropissantes bornees, et l'integrale est encore de nie. Si H est d e rivable en tout point, de d e riv e e H 0 Riemann int egrable, R R alors f = f 0(t)dt. En outre, la classe des fonctions a variations nies est la plus grande classe pour laquelle l'integrale de Stieljes a un sens. [...]

[...] Ceci indique quel est le probleme de de nir une integrale par rapport au mouvement brownien : comme les trajectoires sont a variation in nie sur tout intervalle, on ne peut de nir une integrale de Stieljes trajectoire par trajectoire. Il va falloir faire autrement, en prolongeant l'idee d'isometrie L2 deja exploitee pour de nir l'integrale de Wiener L'integrale stochastique par rapport au mouvement brownien Soit ( ; F ; ( P ) un espace de probabilite ltre et cessus de Wiener Ft-adapte, a valeurs dans IRd. W un pro- Espace L2F T ) C'est l'espace des processus stochastiques ' de temps t 2 T a valeurs reelles, tels que : 1. ' est progessivement mesurable, R 2. [...]

[...] Soit f 2 C T ] IRd); nues). Alors : 1 en C 2 en x a derivees conti- Z th f Xt) = f X0) + fs0 Xs) + fx0 i + 2Z T r [fxx(s; 00 s :ds + [fx0 Xs)]:'s:dWs t 0 12 Equations di erentielles stochastiques Soit ( ; F ; P ) un espace de probabilite, W un mouvement brownien standard a valeurs IRd, Ft = FtW la ltration engendree par W , X0 une variable al eatoire F0-mesurable a valeurs IRd, telle que E jX0j2 [...]