Les équations différentielles en mathématiques

Résumé du document

Fiches de révision de mathématiques (Terminale S) consacrées aux dérivées et aux équations différentielles. Elles reprennent les notions essentielles qui permettront de répondre à tous les exercices.

Extraits

[...] DERIVEE EQUATIONS DIFFERENCIELLES Définition : f définie sur un intervalle contenant a La fonction ƒ est dérivable en a si et seulement le taux ƒ(a + ƒ(a) d'accroissement tend vers un nombre quand h tend h vers zéro ; ce nombre noté ƒ'(a) est le nombre dérivé de ƒ en a II- Notation différentielle d = f'(a)dx dy a = f'(a) dx Definition de la tangente: Si la fonction ƒ est dérivable en alors la courbe représentative de ƒ admet au pont d'abscisse a une tangente de coefficient directeur ƒ'(a) L'équation de cette tangente est : y = ƒ'(a) + III- Equation différentielle Des exemples vus en activité, aboutissent à : y' = ay a constante, y étant une fonction de la variable x Résoudre l'équation différentielle y'=ay c'est déterminer toutes les fonctions f dérivable sur vérifiant : pour tout x réel f'(x) = af(x) Une équation différentielle est une égalité qui lie les dérivée d'une fonction : Exemple : = x3+3x²-5x+1 f'(x) = +6x-5 f''(x) = 6x+6 = 6 Page 1 sur 3 : fiches de mathématiques : Dérivée équations différentielles = O pour tout n entier naturel 4 = O IV- Dérivée d'une fonction composée Théorème : Soit f dérivable sur un intervalle I et u dérivable sur un intervalle et pour tout x de I appartient à J Alors est dérivable sur I et pour tout x de I = u'( f'(x) ) Corollaire I : Si f est dérivable sur l'intervalle I n Alors = ( ) avec n entier naturel = = xn dérivable sur ) est dérivable sur I et pour tout x n-1 de I : g'(x) = ) f'(x) Corollaire II : Si f est dérivable sur l'intervalle I et pour tout x de > O Alors = est dérivable sur I et pour tout x de I f'(x) h'(x) = 2 1 ( g = = x u dérivable sur ; u'(x) = 2 Démonstration : résolution d'une équation différentielle y' = ay a réel non nul vérifier que ƒ définie sur par ƒ(x) = eax , est solution de ƒ composée de deux fonctions : x ax dérivable sur x ex dérivable sur donc ƒ dérivable sur R et pour tout x réel : ƒ'(x) = aeax = a ƒ(x) donc pour tout x réel ƒ(x) = aƒ(x) Soit h une solution de Soit g définie sur par = eax Page 2 sur 3 : fiches de mathématiques : Dérivée équations différentielles = e-ax g produit de deux fonctions dérivables sur Pour tout x réel : g'(x) = h'(x) e -ax : -ax + ) g'(x) = a e-ax a e-ax = 0 Donc g est une fonction constante sur Pour tout x réel = C d'où = C.eax Théorème : les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont les fonctions ƒ définies sur par ƒ(x) = C.eax où C est une constante réelle. [...]

[...] y' = ay y(x0) = y0 ƒ(x) = C.eax y0 = C.eax0 C = y0 e-ax0 Théorème : Soit x0et y0 deux réels donnés, il existe une fonction unique ƒ solution de y' = ay et vérifiant ƒ(x0) = y0 Théorème : les solutions de l'équation différentielle y' = ay sont les fonctions ƒ définies sur b par ƒ(x) = C.eax où C est une a constante réelle. [...]