L'équation différentielle en Mathématiques (niveau Terminale)

Résumé du document

Cours de Mathématiques (Terminale) avec exemples sur les équations différentielles du premier ordre et du second ordre. Définitions, théorèmes, équations différentielles avec des conditions initiales sont présentés.

Extraits

[...] Equations différentielles 2 I. Equations du type = ky Soit k un nombre réel, étudions l'équation différentielle : = ky . On dit qu'il s'agit d'une équation différentielle du premier ordre. Résoudre cette équation signifie déterminer toutes les fonctions f dérivables sur telles que, pour tout nombre réel = k f(x). Théorème: Les solutions de l'équation différentielle = ky sont les fonctions f définies sur par : = C ekx, où c appartient à . Théorème: Pour tout (x0 ; y0) de l'équation = ky admet une unique solution f telle que f(x0) = y0. [...]

[...] Théorème: Les solutions de l'équation différentielle = ay + avec a non nul , sont les fonctions f définies sur par : = C eax - où c est un nombre réel. Théorème: Pour tout couple (x0 ; y0) un élément de l'équation = ay + avec a différent de admet une solution f et une seule telle que f(x0) = y0. (théorème dit de CAUCHY) Exemple : Résoudre l'équation différentielle 4y' - y = 6 avec la condition initiale suivante: la solution de cette équation qui prend la valeur 4 en 0. [...]

[...] On a donc : C - 6 = soit C = 10 La fonction f cherchée est donc définie sur par : = 10 e1/4 x - 6. III. Résolution de + = On dit qu'il s'agit d'une équation différentielle du second ordre. Théorème: L'ensemble des solutions de l'équation différentielle , + y = 0 où r est un réel fixé, est l'ensemble des fonctions définies sur par : Acos(rx) + B sin(rx), où A et B sont deux constantes réelles quelconques. [...]