Ecriture finie d’un nombre en développement décimal illimité

Résumé du document

On appelle un nombre en développement décimal illimité tout nombre possédant une infinité de chiffres après la virgule. Nous allons nous intéresser dans ce problème aux nombres appartenant à cette catégorie et présentant des motifs, c'est à dire que nous avons une séquence de chiffres, le motif, qui se répète à l'infini. Nous démontrerons que ces nombres peuvent avoir une écriture finie fractionnaire.

Extraits

[...] Cas général Posons où sont des chiffres et fixé. Démontrons que . donc et donc si nous posons , et par conséquent avec , et donc . Note Pour avoir une démonstration plus complète dans le cas général, il faut aussi étudier le cas c'est à dire \ . La démonstration s'effectue comme précédemment et on en déduit que avec . De plus, comme ( si alors , de même pour b. Bibliographie MATHS analyse 1re Collection Terracher, Hachette Education, p.212-213 pb et ex n°4. [...]

[...] Preuves à l'appui On peut remarquer aisément que cela est vrai avec des exemples assez simples, comme , que l'on peut aussi écrire , ou encore . Mais on peut alors se demander si la réciproque est vraie. Par exemple, est- ce que est un nombre rationnel ? En voici la démonstration : Posons . Dans ce cas, la séquence 47 est reproduite une infinité de fois. Soit n le nombre de séquences, on peut écrire : Par conséquent, Nous sommes en présence de la somme de n termes d'une suite géométrique de premier terme 1 et de raison . [...]