Divisibilité dans Z

Thèmes abordés

Informatique - Électronique, Divisibilité dans Z, entiers relatifs, a est un multiple de b, b est un diviseur de a, entier non nul, diviseurs communs

Résumé du document

Soit a et b deux entiers relatifs. Dire que a est un multiple de b ou que b est un diviseur de a signifie qu'il existe un entier relatif k tel que a = kb.

Remarque :
- un entier non nul a une infinité de multiple
- 0 a une infinité de diviseur
- 0 ne divise aucun entier non nul
- tout entier relatif n non nul admet au moins 4 diviseurs (n, -n, 1 et -1)
- tout entier relatif n non nul à un nombre fini de diviseur
- dire que 2 entiers relatifs sont premiers entre eux signifie qu'ils n'admettent que 2 diviseurs communs qui sont 1 et -1.

Extraits

[...] Remarque : - un entier non nul a une infinité de multiple - 0 a une infinité de diviseur - 0 ne divise aucun entier non nul - tout entier relatif n non nul admet au moins 4 diviseurs et - tout entier relatif n non nul à un nombre fini de diviseur - dire que 2 entiers relatifs sont premiers entre eux signifie qu'ils n'admettent que 2 diviseurs communs qui sont 1 et -1. Propriétés - Soit a et b deux entiers relatifs. Si b divise alors pour tout entier relatif k', b divise k'a. La réciproque est fausse. - Soit a et b deux entiers relatifs, si a divise b et b divise a alors ,a. = . [...]

[...] Si c divise b et b divise a alors c divise a. - Soit b et c 3 entiers relatifs. Si c est un diviseur commun à a et alors pour tout entier relatif m et c est un diviseur de ma + nb. Autrement dit, si c divise a et b alors c divise toutes les combinaisons linéaires entières de a et b. II) Division euclidienne Théorème : Soit a et b deux entiers naturels et b non nul. [...]